Matematica

UNIVERSIDAD CENTRAL DEL ECUADOR

FACULTAD DE CIENCIAS QUIMICAS

CUADERNO DE EJERCICIOS

TEMA: LOGICA MATEMÁTICA

5. Probar mediante deducción natural:

1. p ^ q,r ` q ^ r

2. p, ::(q ^ r) ` ::p ^ r

3. :p ^ q, :p ^ q ^ r :p ` r :p

4. p, p ^ q, p ^ (q r) ` r

5. p `(q ^ r), p, :r ` :q

6. :p ^ q, :q ` p

7. p ^ q ` :q `p

8. :q ^ :p ` p ! ::q

9. ` p ^ p

6. Probar mediante deducción natural:

1. (E _ F) ! G ` (E ! G) ^ (F ! G)

2. ` (E ! (F ^ G)) ! (E ! F) _ (E ! G)

3. fp ! r,r ! :qg j= :(p ^ q)

4. p _ q, :q _ r ` p _ r

5. ` (p ! q) ! ((:p ! q) ! q)

6. (p _ (q ! p)) ^ q ` p

7. :(p ^ :q) ` p ! q

8. (p ! q) ^ (p ! r) j= p ! (q ^ r)

9. (p1 ! p2) ^ (q1 ! q2) ` (p1 ^ q1 ! p2 ^ q2)

10. :(:p _ :q) ` p ^ q

a. ` ((p ! q) _ (p ! r)) ! (p ! q _ r)

11. ((:p _ :q) ! (:p ^ r)) ` :q _ (p _ r)

12. p ^ :(q ! r) ` (p ^ q) ^ :r

13. ` ((p ! (q ^ :r)) ! p) ! p

14. ` (p ! :q) ^ (p ! :r) ! (p ! :(q _ r))

7. Sea F la fórmula

((p _ q) $ :(p _ q)) _ (((:p _ q) ! :((q ^ r) ! :p)) ^ (r ! :(q _ p)))

Decidir, mediante tablero semántico, si F es satisfacible. En el caso de que lo sea, calcular

un modelo v de F a partir del tablero y comprobar que v es modelo de F

8. Resuelva mediante tablas

1. (:p _ q) ^ (:q _ p).

2. (:p _ q) ^ (q ! p).

3. (:p ^ q) _ (:q ^ p).

4. (:p ^ q) _ (q ! p)

9._ Decidir, mediante forma normal conjuntiva, si las siguientes fórmulas son

tautotologías. En el caso de de que no lo sean calcular sus contramodelos a partir de su

FNC.

1. :(p ^ (q ! r)).

2. (p ! q) _ (q ! p).

3. (p $ q) ! r. 10._ Sea A la fórmula proposicional p ^ q $ :p _ r.

1. Escribir un tablero completo para A y otro para :A.

2. Describir todos los modelos y todos los contramodelos de la fórmula A. 11._ Usando tablas demostrar:

1. ( p’ )’ ⇔ p

2. p ∧ p’ ⇔ F

3. p ∨ p’ ⇔ V

4. p ∨ V ⇔ V

5. p ∧ V ⇔ p

6. p ∨ F ⇔ p

7. p ∧ F ⇔ F

12._ Utilizando esas definiciones y las leyes de lógica matemática, demostrar las siguientes

tautologías:

1. p → q ⇔ q’ → p’

2. ( p → q )’ ⇔ p ∧ q’

3. p → ( q ∧ q’ ) ⇔ p’

4. ( q ∨ q’ ) → p ⇔ p

5. ( p ∧ q ) → r ⇔ p → ( q → r )

13._ Escribir la reciproca y la contrarrecıproca de cada una de las afirmaciones siguientes:

1. Si llueve, no voy.

2. Me quedare, solo si tu te vas.

3. Si tienes cien pesetas, entonces puedes comprar un helado.

4. No puedo completar la respuesta si no me ayudas.

14._Establecer si las siguientes proposiciones son tautologías o contingencias

1. (p −→ q) ∧ (q −→ p)

2. [p ∧ (q ∨ r)] −→ [(p ∧ q) ∨ (p ∧ r)]

3. (p ∨ ¬q) −→ q

4. p −→ (p ∨ q)

5. (p ∧ q) −→ p

6. [(p ∧ q) ←→ p] −→ (p ←→ q)

7. [(p −→ q) ∨ (r −→ s)] −→ [(p ∨ r) −→ (q ∨ s)]

15._ 1.1. Determinar el valor (verdadero o falso) de las siguientes proposiciones:

1. 11 es entero y √

2. 3 es irracional.

3. π es complejo y −2 es natural.

4. √

5. 5 es racional o π es complejo.

6. 2

7. 3

8. es complejo y 2

9. 3

10. es racional.

11. 1 + i es real o 1 + i es entero.

12. 2

13. 5

14. es complejo o 7

15. 3

16. es real.

17. Si i es real entonces √

18. 2 es natural.

19. Si todo complejo es real entonces √

20. 5 es entero.

21. Si √

22. 2 es complejo entonces no es real.

23. i es real si, y s´olo si, π es entero.

24. Todo real es complejo si, y s´olo si, todo complejo es real.

16._Demostrar:

1. : [ (p Λ q) ν (~ p Λ r) ν (q Λ r) ] ↔ [ (p Λ q) ν (~ p Λ r)]

2. (p ν ~ q) Λ (q ν r) Λ (q ν ~ r) ↔ (p Λ q)

3. ~ [(p Λ ~ q Λ r) ν (p Λ q Λ r)] ↔ (~ p ν ~ r)

17._Demostrar mediante tablas

1. ( p’ )’ ⇔ p

2. p ∧ p’ ⇔ F

3. p ∨ p’ ⇔ V

4. p ∨ V ⇔ V

5. p ∧ V ⇔ p

6. p ∨ F ⇔ p

7. p ∧ F ⇔ F

8. p ∧ ( p ∨ q ) ⇔ p

9. p ∨ ( p ∧ q ) ⇔ p

10. ( p ∧ q )’ ⇔ p’ ∨ q’

18._

19._

20._

21._Expresar en simbología lo siguiente

Sea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la deuda, si solo si soy desorganizado”

Donde:

p: Pago la luz.

q: Me cortarán la corriente eléctrica.

r: Me quedaré sin dinero.

s: Pediré prestado.

t: Pagar la deuda.

w: soy desorganizado.

22._ Simboliza las siguientes proposiciones:

1. No vi la película, pero leí la novela

2. Ni vi la película ni leí la novela

3. No es cierto que viese la película y leyese la novela

4. Vi la película aunque no leí la novela

5. No me gusta trasnochar ni madrugar

6. O tu estás equivocado o es falsa la noticia que has leído

7. Si no estuvieras loca, no habrías venido aquí

8. Llueve y o bien nieva o sopla el viento

9. O está lloviendo y nevando o está soplando el viento

10. Si hay verdadera democracia, entonces no hay detenciones arbitrarias ni otras violaciones de los derechos civiles:

11. Roberto hará el doctorado cuando y solamente cuando obtenga la licenciatura:

12. Si viene en tren, llegará antes de las seis. Si viene en coche, llegará antes de las seis. Luego, tanto si viene en tren como si viene en coche, llegará antes de las seis:

23._ Simboliza:

1. Si p, entonces q

2. No es el caso que p y q

3. p solamente si q y no-r

4. p o no-q

5. Si p y q, entonces no-r o s

6. Si p, entonces q, y si q, entonces p

7. Si p y q, entonces r. p. Luego si q, entonces r

8. Si p y q, entonces r. Si r y s, entonces t. Luego si p y q y s, entonces t

24._ Formaliza las siguientes proposiciones:

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