Matematicas

4.12 Valores extremos de funciones de varias variables.

Suficientes para la existencia de extremos locales.

Definición: Una función z=f(x,y) tiene un máximo (mínimo) en un punto P(x_0,y_0) si el valor de la función en este punto es mayor (menor) que su valor en cualquier otro punto X(x, y) de algún entono de P.

Condiciones necesarias de extremo: Si una función diferenciable z=f(x,y) , alcanza un extremo en el punto P(x_0,y_0) entonces sus derivadas parciales de primer orden en este punto son iguales a cero, o sea:

∂f/∂x (x_0,y_0 )=0 ; ∂f/∂y (x_0,y_0 )=0

Los puntos en los que las derivadas parciales son iguales a cero se llaman puntos críticos o estacionarios. No todo punto crítico es un punto extremo.

Condiciones suficientes para la existencia de extremos.

Caso de dos variables: Sea P(x_0,y_0) un punto crítico de una función z=f(x,y) con las derivadas parciales de segundo orden continuas en P, y sea H(x_0,y_0) el determinante de su matriz Hessiana, entonces:

H(x_0,y_0 )=[■((∂^2 f)/(∂x^2 )(x_0,y_0)&(∂^2 f)/∂x∂y(x_0,y_0)@(∂^2 f)/∂x∂y(x_0,y_0)&(∂^2 f)/(∂y^2 )(x_0,y_0))]→

Es decir, si el Hessiano es positivo hay extremo (el tipo nos lo da f_xx=(x_0,y_0) , si es negativa máximo y si es positiva mínimo). Si el hessiano es negativo no hay extremo. Y si el hessiano es cero hay duda (que habrá que resolver por otro método).

Caso de tres o más variables: Calculamos los siguientes determinantes:

∆_1=[f_xx ] ; ∆_2=[■(f_xx&f_xy@f_yx&f_yy )] ; ∆_3=[■(f_xx&f_xy&f_xz@f_yx&f_yy&f_yz@f_zx&f_zy&f_zz )] ;……;∆_n

Si todos los determinantes tienen signo positivo, entonces la función tiene un mínimo en P(x_0,y_0) .

Si los determinantes tienen signo alterno (comenzando con un valor negativo f_xx=(x_0,y_0 )<0) , entonces la función tiene un máximo en P(x_0,y_0) .

Ejemplo 1: Halla los extremos de la función f(x,y)=x^2+y^2+xy-3x-6y+1

Solución:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

∂f/∂x=2x+y-3 ; ∂f/∂y=x+2y-6

Los puntos críticos se obtienen igualando a cero las derivadas parciales.

2x+y-3=0

x+2y-6=0

Y resolviendo el sistema obtenemos x = 0, y = 3. Luego P (0,3) es el único punto crítico de la función.

Hallamos la matriz Hessiana de f en P (0,3).

H=[■(f_xx&f_xy@f_yx&f_yy )]=[■(2&1@1&2)]→H(0,3)=[■(2&1@1&2)]

Con lo cual tenemos H (0,3) = +3 luego hay extremo y como f_xx (0,3)=+2 se trata de un mínimo.

El valor de la función en el mínimo es f (0,3) = -8.

Ejemplo 2: Halla los extremos de la función f(x,y)=x^2+y^4

Solución:

Calculamos las derivadas parciales de primer orden.

∂f/∂x=2x ; ∂f/∂y=〖4y〗^3

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