Matemática Aplicada

Álgebra de conjuntos

Conceptos primitivos: Conjunto, elemento, pertenencia (son conceptos que no se definen, se consideran conceptos que todos conocen sin necesidad de definir).

Símbolos que usaremos Significado













>

<





/, : Pertenece. Se usa para indicar que un elemento está en un conjunto

No pertenece

Incluído. Se usa para indicar que un conjunto está contenido en otro

Conjunto vacío. Es el conjunto que no tiene elementos

Intersección

Unión

Mayor que

Menor que

Mayor o igual que

Menor o igual que

Tal que

Formas de definir un conjunto

Por extensión: Cuando se nombran todos sus elementos.

Ejemplo: A = lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo

Por comprensión: Cuando no se nombran los elementos, sino que se da una característica común a todos.

Ejemplo: A = x / x es día de la semana

Operaciones entre conjuntos

1) Intersección: Es el conjunto formado por los elementos que tienen en común los conjuntos.

En símbolos: A  B = x / x  A y x  B

Ejemplo: Si A = 1,3,5 y B = 0,3,5,6, entonces A  B = 3,5

2) Unión: Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen al menos a uno de los conjuntos. Es decir, es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a uno o a ambos conjuntos.

En símbolos: A  B = x / x  A ó x  B

Ejemplo: Si A = 1,3,5 y B = 0,3,5,6, entonces A  B = 0,1,3,5,6

3) Diferencia: Es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a B.

En símbolos: A - B = x / x  A y x  B

Ejemplo: Si A = 1,3,5 y B = 0,3,5,6, entonces A - B = 1

4) Complemento de A: Es el conjunto de elementos que no pertenecen a A. Se simboliza con cA, Ac ó

En símbolos: Ac = x U / x  A, U es el universal o conjunto de referencia.

Ejemplo: Si U = 0,1,3,5,6 y A = 1,3,5, entonces Ac = 0,6

Inclusión de conjuntos

Un conjunto A está incluido en otro B si todo elemento de A es un elemento de B.

Ejemplo: Si A = 1,3,5 y B = 0,1,2,3,4,5, entonces A  B, porque todo elemento de A es un elemento de B.

Experimento determinístico y aleatorio

Un experimento es determinístico si al ser repetido bajo un mismo conjunto de condiciones controladas, conduce siempre al mismo resultado.

Ejemplo: Si un móvil se desplaza a una velocidad constante de 50km/h, podemos predecir con exactitud que al cabo de 2 horas habrá recorrido una distancia d = ……….

Siempre que repitamos este experimento obtendremos el mismo resultado.

Por el contrario, un experimento es no determinístico o aleatorio si al ser repetido bajo un mismo conjunto de condiciones controladas, no conduce siempre al mismo resultado.

Ejemplo: Al arrojar un dado al azar no se puede predecir qué resultado se obtendrá en cada lanzamiento.

Espacio muestral

Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo: 1) En el experimento de arrojar un dado el espacio muestral es S = 1,2,3,4,5,6.

2) Si el experimento consiste en arrojar una moneda, el espacio muestral es S = cara, sello

Suceso o acontecimiento

Es cualquier subconjunto del espacio muestral. Si tiene un solo elemento se denomina acontecimiento elemental.

Ejemplo: En el experimento de arrojar un dado A = 1,3,4 es un suceso o acontecimiento porque A  S.

B = 0,1 no es un suceso porque B  S.

C = 3 es un acontecimiento o suceso elemental porque C S, y además C tiene un solo elemento.

Conteo de elementos de un espacio muestral o un suceso

Existen varias técnicas para contar el número de elementos de un conjunto.

Ejemplo: Un hombre tiene dos pantalones (azul y gris) y tres camisas (blanca, celeste y negra), ¿de cuántas formas distintas se puede vestir? ¿ Qué relación tiene este resultado con el número de pantalones y de camisas que posee?

Los resultados pueden ser: (azul, blanca), (azul, celeste), (azul, negra), (gris, blanca), (gris, celeste), (gris, negra), el primer elemento de cada par es el color de pantalón y el segundo el color de la camisa.

Hay

...