Matemática En El Aula

El sistema de numeración: convenciones y complejidades.

Nuestro sistema de numeración, como cualquier objeto de construcción cultural, es una convención y, como tal, arbitraria; por lo tanto, la posibilidad de que este sistema pueda ser aprendido por las nuevas generaciones depende de la enseñanza.

Los diversos enfoques para enseñar nuestro sistema de numeración dan cuenta de variados esfuerzos que la escuela ha producido para intentar disminuir esa complejidad y hacerlo, así, asequible para los alumnos de grados bajos.

Por otra parte, desde muy chicos, los niños poseen conceptualizaciones acerca del sistema. El gran desafío para la enseñanza es lograr vincular tales conceptualizaciones de los niños con los saberes considerados válidos. El problema didáctico al que se enfrentan los docentes, entonces, es lograr enseñar un objeto complejo produciendo argumentaciones al nivel del conocimiento de los alumnos. Esto hace necesario “desnaturalizar” nuestro saber adulto sobre las reglas que rigen nuestro sistema, de modo de no pensarlas como si sólo conformaran una técnica de traducción de las cantidades a una versión gráfica, para la que únicamente hay que aprender las reglas que regulan esa traducción.

Las reglas y las características de nuestro sistema de numeración.

Sus características principales son:

1. El sistema está compuesto de 10 signos que, combinados entre sí, pueden representar cualquier número.

2. Es un sistema decimal porque está organizado en base 10, es decir, que cada unidad de un orden equivale a 10 unidades del orden anterior.

3. Es un sistema posicional, porque la misma cifra adquiere diferente valor según la posición que ocupe en un número.

4. Se escribe en un orden decreciente de izquierda a derecha.

5. Incluye cero.

6. Entre dos números de la misma cantidad de cifras, es mayor el que tiene a la izquierda el número mayor.

7. Entre dos números de diferente cantidad de cifras, es mayor el que tiene más cifras.

Por su organización decimal, el valor de cada posición, de derecha a izquierda, corresponde a las potencias sucesivas de 10. Así los valores de las posiciones consecutivas son los siguientes:

104; 103: 102; 101; 100.

Es decir: 10000; 1000; 100; 10; 1.

Por ejemplo para 2.487, el valor de cada una de sus cifras sería:

2x103+4x102+8x101+7x100 es decir; 2x1000+4x100+8x10+7x1

La numeración escrita es hermética, “opaca”, ya que las potencias de la base no se representan a través de símbolos particulares, sino que queda a cargo del sujeto el inferirlas a partir de la posición que ocupan las cifras.

La numeración hablada tiene otras características. Al enunciar un número, se explicita la descomposición aditiva y/o multiplicativa de los números. La numeración hablada no es posicional, al mismo tiempo que enunciamos la cifra, enunciamos la potencia de 10 que le corresponde a cada cifra.

A estas complejidades, hay que sumarles que la conjunción “y” que representa lingüísticamente la adición, sólo aparece cuando se trata de reunir decenas y unidades, y no se presenta en la reunión de centenas y unidades. En realidad, aparece en la reunión de algunas decenas y unidades.

Otros obstáculos:

• Decimos “veintiuno, treinta y uno, cuarenta y uno” etc., es decir, que enunciamos la decena entera y la unidad extra. En cambio, decimos “once”

• Cuando decimos “doce, trece” lo que suma primero es el dos y el tres, razón por la que muchos chicos escriben esos números como 21 y 31.

Otro de los diversos enfoques que persiguen el mismo fin está referido a centrar la enseñanza en el uso de material concreto o material estructurado. Desde esta postura, se utilizan “bolsas” de 100 fósforos, “ataditos” de 10 fósforos, fósforos sueltos; o reglas de diferentes colores de acuerdo con las distintas longitudes; o cuadrados con 100 cuadraditos, tiras de 10 cuadraditos, y cuadraditos sueltos, etc. También suelen usarse como material didáctico representaciones gráficas que equivalen a 100, 10, 1; por ejemplo: cuadrados, triángulos, y círculos, etcétera.

Existen diferencias importantes entre esos recursos de enseñanza y nuestro sistema de numeración.

En primer lugar, estas representaciones tienen sólo tres signos en base decimal, cada uno representa un orden de agrupamiento: un signo para representar las unidades, otro para las decenas y un tercero para las centenas. Podrían agregarse otros símbolos para la unidad de mil, decena de mil, etc., pero siempre se trataría de una cantidad limitada.

En segundo lugar, en realidad, no son posicionales, es decir que la ubicación de los símbolos no modifica su valor. Por ejemplo, que 2 ataditos de 10 elementos estén primero, 5 elementos sueltos a continuación y, por último, una bolsa de 100 elementos no modifica en absoluto que esa representación equivalga al número 125.

En tercer lugar, no son mixtos (multiplicativos y aditivos). Son sólo aditivos. Se van agregando uno al lado del otro los signos correspondientes, repitiéndolos tantas veces como si dicha cantidad estuviese comprendida en dicho número y luego, se suman para obtener el valor total.

En cuarto lugar, no incluyen un símbolo para el cero.

En quinto lugar, entre dos representaciones con la misma cantidad de símbolos, no se verifica que sea mayor la que tiene a la izquierda el símbolo mayor.

Por último, no se verifica que, entre dos representaciones de diferente cantidad de símbolos, sea mayor la que tiene más símbolos. Para representar el número 9, se necesitan 9 fósforos; y para representar el 100, sólo hace falta una bolsa.

En síntesis, estos recursos que buscan “concretizar” las reglas del sistema de numeración presentan la paradoja de no respetarlas.

El sistema de numeración y las operaciones.

Otra ventaja de la numeración escrita es que, gracias a sus características, posibilita la construcción de diferentes y económicos recursos de cálculo algorítmico y mental.

En los algoritmos convencionales de suma y resta se opera sobre todas las cifras como si fueran unidades.

Dependiendo del tipo de enseñanza que se lleve adelante, las operaciones y el sistema de numeración se trabajarán por separado, como si no existiera ninguna relación entre ellos; o se planteará intencionalmente una enseñanza donde queden explicitadas todas las

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