Matriz Asociadad

MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

a) Matriz asociada a una aplicación lineal, f: Em  Fn , de un espacio vectorial de dimensión m, E, en otro de dimensión n, F, en las bases determinadas, Mf: matriz de dimensión nxm que tiene por columnas las componentes de las imágenes de los vectores de la base de Em en la base de Fn(ver matrices).

a-1) Ejemplo: en la aplicación lineal f: R3  R2

(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y),

f(1, 0, 0) = (1, 2), f(0, 1, 0) = (1, -1) y f(0, 0, 1) = (-1, 0). De esta forma la matriz asociada sería:

Mf = .

b) Expresión matricial de una aplicación lineal, Mf(u) = (w): si f: Em  Fn y Mf su matriz asociada, la aplicación lineal f(u) = w, se puede expresar en forma de producto de dos matrices, Mf , de orden nxm, y la matriz de orden mx1 formada por las componentes de u, (u):

Mf(u) = (w) (ver matrices. Operaciones con matrices. Producto de matrices).

b-1) Ejemplo: si f: R3  R2

(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y), entonces su matriz asociada es:

Mf = , y su expresión matricial: f(x, y, z) =  = (x + y – z, 2x – y).

c) Matriz asociada a la suma de aplicaciones lineales, Mf+g : Mf+g = Mf + Mg (ver matrices. Operaciones de matrices. Suma de matrices).

c-1) Ejemplo: : si f: R3  R2 y g: R3  R3

(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y) (x, y, z)  (2x, 3y), entonces:

Mf = , Mg = y Mf+g = Mf + Mg = + = .

Entonces (f + g)(x, y, z) =  = (3x + y – z, 2x + 2y).

d) Matriz asociada a la multiplicación de una aplicación lineal, f, por un escalar, , Mf :

Mf = Mf (ver matrices. Operaciones de matrices. Multiplicación por un escalar).

d-1) Ejemplo: : si f: R3  R2

(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y), entonces:

Mf = , M3f = 3 = . Entonces la aplicación 3f :

(3f)(x, y, z) =  = (3x + 3y – 3z, 6x – 3y).

e) Matriz asociada a la composición de dos aplicaciones lineales, f y g, Mgºf : Mgºf = Mg Mf (ver matrices. Operaciones de matrices. Producto de dos matrices).

e-1) ) Ejemplo: : si f: R3  R2 y g: R2  R

(x, y, z)  (x + y – z, 2x – y) (x, y)  (x + y), entonces:

Mf = y Mg = (1, 1).

Mgºf = (1, 1) = (3, 0, -1). Y gºf se puede escribir:

(gºf)(x, y, z) = (3, 0, -1) = (3x – z).

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