Matriz de orden pxm

matriz de orden pxm

Se supone que todas las matrices son de coeficientes constantes. Las matrices A y C describen el comportamiento del sistema, la matriz B determina el efecto de las variables de control sobre la dinámica del sistema y la matriz D sobre las variables de salida y(t).

Las variables de salida no son incógnitas del sistema dinámico, dado que una vez determinadas las variables de estado x(t) se obtienen las variables y(t).

Los conceptos de controlabilidad y observabilidad están asociados respectivamente a las preguntas: ¿Existen variables de control que puedan hacer posible trasladar el sistema desde un estado inicial conocido a un estado final deseado? ¿Es posible conocer la trayectoria del sistema, dado que se conoce el estado en que se encuentra el sistema? Estas preguntas, como se verá se pueden responder a través de las propiedades de las matrices A, B, C y D.

Definición: Estado controlable

Se define el estado inicial x0(t0) como controlable si existe algún vector de control u(t) definido en un intervalo [t0,t1], con t1 finito, que traslada el sistema desde el estado x0(t0) al origen del espacio de fases en el tiempo t1.

Definición: Sistema completamente controlable

Un sistema es completamente controlable en un intervalo [t0,t1] si todo estado inicial x0(t0) es controlable.

Ejemplo

Sea el sistema descrito por:

X ̇_1=2X_1 ∧ Y=2X_1+5X_2

X ̇_2=2X_2+3u

Luego

A=[■(2&0@0&2)]; B=[■(0@3)]

C=[■(2&5)] ; D=0

Se observa que la variable de control no afecta a la variable x1, luego es posible verificar que los estados (0,x2(0)) son estados controlables, pero el sistema no es completamente controlable, pues si x1(0) = a > 0 entonces no se puede trasferir, en un tiempo finito el sistema al origen.

Determinación de la controlabilidad para el sistema continuo

Teorema

El sistema X ̇=AX+BU es completamente controlable si la matriz [B:AB:AB: …: A^(n-1) B] es de rango n.

Demostración.

1. se supone que el estado de llegada es el origen.

2. t_0=0

Nota: no se pierde generalidad ¿Por qué?

Se sabe que la solución del sistema es:

X(t)=

Como 〖X(t〗_1)=0 0=e^(at_1 ) X(0)+∫_0^(t_1)▒〖e^A(t_1-z) Bu(z)dz〗

Luego

X(0)= -∫_0^(t_1)▒〖e^(-Az) Bu(z)dz〗

De acuerdo al teorema de Cayley-Hamilton se puede escribir:

e^(-Az)=∑_(k=0)^(n-1)▒〖∝_k (z)A^k 〗

X(0)=-∫_0^(t_1)▒∑▒〖∝_k (z)A^k Bu(z)dz〗

X(0)=-∑_(k=0)^(n-1)▒〖A^k B∫_0^(t_1)▒〖∝_k (z)u(z)dz〗〗

Se define

U_k=∫_0^(t_1)▒〖∝_k (z)u(z)dz〗

Donde U_k es un vector de orden m

Reemplazando en X(0):

X(0)= - ∑_(k=0)^(n-1)▒〖A^k BU_k 〗

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