Matriz de transformación de cambio de bases ortogonales

Matriz de transformación de cambio de bases ortogonales

Bases ortogonales

Definición

Una base {,,. . .,} de Rn es llamada ortogonal si todos sus vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, es decir:[pic 1][pic 2][pic 3]

 ·  = [pic 4][pic 5][pic 6]

Una transformación lineal T de U en V se dice que es ortogonal si preserva el producto interno de los vectores; es decir, para todo u1,u2 ∈ U se cumple que

[pic 7]

Si T: U → V es ortogonal entonces preserva la longitud de los vectores:

, para todo u ∈ U.[pic 8]

En consecuencia, a menudo se denomina a las transformaciones ortogonales isometrías. El siguiente resultado es fundamental para entender una propiedad importante de las transformaciones lineales ortogonales.

• Si V es un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno sobre R, toda isometría lineal T: V → V es un isomorfismo.

De aquí resulta que T transforma cualquier base de V en otra base de V; como además preserva la longitud y el ángulo, es claro que:

• Si V es un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno sobre R y el isomorfismo T: V → V es ortogonal (isometría), entonces T transforma bases ortonormales en bases ortonormales.

Además, las matrices ortogonales están íntimamente relacionadas con las transformaciones ortogonales.

• Una transformación lineal T : V → V es ortogonal si y sólo si las columnas de la matriz AT que representa a T, relativa a cualquier base ortogonal, forman una base ortonormal de V.

Sea AT una matriz cuadrada que representa una transformación lineal ortogonal T: V → V, entonces det (AT) = ±1 y los valores propios de AT satisfacen |λi| = 1.

Otras propiedades interesantes que comparten las matrices ortogonales y las transformaciones lineales que representan son las siguientes:

• El producto de dos matrices ortogonales es ortogonal. Equivalentemente, la composición de dos transformaciones ortogonales es ortogonal.
• La inversa de una matriz ortogonal es ortogonal; equivalentemente, la inversa de una transformación ortogonal es una transformación ortogonal.

Consideremos en R 2 la transformación que consiste en rotar los vectores un ángulo de π 2 en sentido contrario a las agujas del reloj. Sabemos que podemos construir una matriz asociada a T, respecto a la base canónica, de la forma:

 = (T (), T ())= [pic 9][pic 10][pic 11][pic 12]

Obviamente, esta matriz es ortogonal (podemos comprobarlo verificando que  A = I o también observando que está formada por columnas ortonormales). La transformación T también es ortogonal, pues obviamente conserva la longitud de los vectores (basta comprobar que  =  para un vector arbitrario v). Además, T es invertible y su inversa es la transformación S que rota los vectores de  un ángulo de  en sentido horario. En este caso:[pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

 = (S (), S ()) = [pic 18][pic 19][pic 20][pic 21]

Es inmediato comprobar que

= [pic 22][pic 23]

También que

= [pic 24][pic 25]

Obsérvese que esta sencilla matriz no es diagonalizable en R ya que sus valores propios λ = ±i no pertenecen a este conjunto de escalares. La situación cambia si consideramos el cuerpo C

 = [pic 26][pic 27]

Además, una transformación ortogonal es una rotación rígida o una rotación incorrecta (una rotación seguida de un giro). (La rotación y luego la rotación pueden realizarse girando primero en la dirección inversa y luego girando). Las transformaciones ortogonales corresponden y pueden representarse utilizando matrices ortogonales.

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