Mecanica De Materiales

MECÁNICA DE MATERIALES II

UNIDAD II ESTADO GENERAL DE DEFORMACIONES

2.1 INTRODUCCIÓN. En la Unidad I se encontró el estado de esfuerzo en un punto arbitrario de un sólido cuando se le somete a cargas superficiales y de cuerpo. En esta unidad se estudiarán las deformaciones asociadas con el sólido. 2.2 DEFINICIONES DE DESPLAZAMIENTO Y DEFORMACIÓN. Si un cuerpo dado se sujeta a un sistema de fuerzas entonces los puntos individuales del cuerpo se pondrán en movimiento. El movimiento de un punto es una cantidad vectorial conocido como desplazamiento. Si varios puntos en el cuerpo sufren movimientos diferentes, cada uno puede ser representado por su propio vector de desplazamiento. Cada vector tiene sus componentes cartesianas representadas por u, v, y w que representan los desplazamientos sobre los ejes x, y, z, respectivamente. El movimiento del cuerpo se puede representar como la suma de dos partes: 1. La traslación y/o rotación del cuerpo en conjunto. 2. El movimiento relativo de los puntos del cuerpo con respecto a otros puntos del mismo cuerpo. La traslación o rotación del cuerpo en conjunto se conoce como movimiento de cuerpo rígido. Este tipo de movimiento se aplica a cuerpos rígidos idealizados o a cuerpos deformables. El movimiento relativo de los puntos del cuerpo se conoce como deformación y es obviamente

sólo una propiedad de los cuerpos reales. Los movimientos de cuerpo rígido pueden ser grandes o pequeños. En general, las deformaciones son pequeñas excepto cuando los cuerpos son de materiales como el hule o estructuras con vigas largas y delgadas. La deformación es una cantidad geométrica que depende de los movimientos relativos de dos o tres puntos en el cuerpo y por consiguiente sólo está relacionado a los desplazamientos. Puesto que los desplazamientos de cuerpo rígido no producen deformación, estos de despreciaran. En la Unidad I se discutieron dos tipos de esfuerzo: esfuerzo normal y esfuerzo cortante; esta misma clasificación se usará para deformaciones. Una deformación normal se define como el cambio en la longitud de un segmento de la línea entre dos puntos divididos por la longitud original del segmento de la línea. Una deformación cortante se define como el cambio angular entre dos segmentos de la línea que eran originalmente perpendiculares. Las relaciones entre las deformaciones y los desplazamientos se pueden determinar considerando la deformación de un cubo arbitrario tomado de un cuerpo sometido a un sistema de cargas. Esta deformación se ilustra en Figura (2.1) en que un punto P se mueve a través de una distancia u en la dirección x, v en la dirección y, y w en la dirección z. También

cambian de sitio las otras esquinas del cubo y, en general, estas cambiaran de sitio en cantidades diferentes del punto P. Los desplazamientos u*, v*, y w* se asocian con un punto Q, las cuales se pueden expresar en términos de los desplazamientos u, v, y w del punto P por medio de una expansión en serie de Taylor. Así, tenemos:

∂u ∂u ∂u ∆x + ∆y + ∆z + ... ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u v∗ = v + ∆x + ∆y + ∆z + ... ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u ∂u w∗ = w + ∆x + ∆y + ∆z + ... ∂x ∂y ∂z u∗ = u +

(2.1)

Los términos mostrados en las expresiones anteriores son los únicos términos significativos, si se 2 supone que el cubo es suficientemente pequeño para que los términos de alto orden como (∆x) , ∆ 2 2 (∆y) , (∆z) ,.... sean despreciados. Bajo estas condiciones los planos permanecerán planos y las ∆ ∆ líneas rectas seguirán siendo líneas rectas después de la deformación, como se muestra en Figura (2.1).

M.C. IGNACIO ARRIOJA CÁRDENAS

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FIGURA 2.1 La distorsión de un cubo arbitrario de un cuerpo debido a la aplicación de un sistema de fuerzas. La deformación promedio normal a lo largo de un segmento de una línea arbitraria se definió previamente como el cambio en la longitud del segmento de la línea dividida por su longitud original. Esta deformación normal puede expresarse en los términos

de los desplazamientos experimentados por puntos a los extremos del segmento. Por ejemplo, considere la línea PQ orientada originalmente paralela al eje x, como se muestra en Figura (2.2), debido a que y y z son constantes a lo largo de PQ, las Ecuaciones (2.1), muestran los desplazamientos del punto Q si los desplazamientos para el punto P son u, v, y w:

u∗ = u +

∂u ∆x ∂x

v∗ = v + ∆x '− ∆x ∆x

∂u ∆x ∂x

w∗ = w +

∂u ∆x ∂x

De la definición de deformación normal, tenemos:

ε xx =

Qué es equivalente a:

(a)

∆x ' = (1 + ε xx )∆x

(b)

FIGURA 2.2 Gradiente de desplazamiento asociado con la deformación normal εxx.

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Como se muestra en la Figura (2.2), la longitud deformada ∆x' puede expresarse en términos de las pendientes del desplazamiento como:

( ∆x ')

2

 ∂u    ∂v   ∂w  = 1 +  ∆x  +  ∆x  +  ∆x    ∂x    ∂x   ∂x

2

2

2

(c)

Igualando y sustituyendo en las Ecuaciones (b) y (c), obtenemos:

(1 + ε xx )2 = 1 + 2 ∂u +  ∂u   

 

∂x

O también:

2 2



 ∂v   ∂w  +  +   ∂x   ∂x   ∂x 

2 2

2

2

 2  (∆x )  

∂u  ∂u   ∂v   ∂w  ε xx = 1 + 2 +   +   +   − 1 ∂x  ∂x   ∂x   ∂x 

(2.2a)

De una manera similar, considerando

la línea segmentada originalmente orientada paralela al eje y y a z llegamos a:

ε yy

∂v  ∂v   ∂w   ∂u  = 1+ 2 +   +   +   −1 ∂y  ∂y   ∂y   ∂y 

2 2 2

2

2

2

(2.2b)

∂w  ∂w   ∂u   ∂v  ε zz = 1 + 2 +   +   +   − 1 ∂z  ∂z   ∂z   ∂z 

(2.2c)

Las componentes

...