Metodo De Nexton

METODO DE NEXTON-RAPSON

método de Newton-Raphson o el método de Newton-Fourier: es un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una función, encontrando los ceros de su primera derivada.

Descripción del método [editar]

El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar un valor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces las probabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangente en ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método haya convergido lo suficiente.

Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.

Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicables a sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc

METODO DE LA SECANTE

Este método, a diferencia del de bisección y regla falsa, casi nunca falla ya que solo requiere de 2 puntos al principio, y después el mismo método se va retroalimentando.

Lo que hace básicamente es ir tirando rectas secantes a la curva de la ecuación que se tiene originalmente, y va checando la intersección de esas rectas con el eje de las X para ver si es la raíz que se busca.

Forma de hacerlo:

Primero hay que definir algunos conceptos como:

Xn es el valor actual de X

Xn-1 es el valor anterior de X

Xn+1 es el valor siguiente de X

Para simplificar la formula que se usa en este método se dirá que:

A=Xn-1

B=Xn+1

C=Xn

Como su nombre lo dice, este método va trazando rectas secantes a la curva original, y como después del primer paso no depende de otras cantidades sino que solito va usando las que ya se obtuvieron, casi nunca falla porque se va acomodando hasta que encuentra la raíz.

Lo primero que se hace, igual que con otros métodos es dar 2 puntos cualesquiera que sean sobre el eje de las X que se llaman A y C.

Después se sustituyen esos puntos en la ecuación original para obtener f(A) y f©. Una vez que se tienen todos esos datos se obtiene el punto B con la formula B=((Af©)-(C(f(A)))/(f©-f(A)).

A diferencia del resto de los métodos, aqui no hay que acomodar en columnas cada uno de los datos, sino que se utiliza la simplificación de conceptos y como se simplifica la fórmula para seguir con el método. Aquí solo se usan 2 columnas, una de Xn y otra de f(Xn).

Supóngase que se tiene la ecuación X^3–2X^2+8X-9

Xn f(Xn)

A 10 871

C 15 3036

B 7.9884 437.054

Como se ve en la tabla de valores, los 2 primeros puntos que se dieron, o sea A y C, son 10 y 15, y se saco su respectiva f(X) y se puso en su lugar, después para sacar B se uso la formula dada arriba y se obtuvo su f(X), ahora lo único que se tiene que hacer para seguir con el método es imaginariamente bajar las letras que están a la izquierda un lugar abajo, así el que era C se convierte en A y A se ignora ahora, el que era B ahora es C y B queda vacio para seguir con el método.

El método sigue hasta que el valor absoluto de f(Xn) sea igual a 0, pero realmente nunca pasa, asi que se fija al principio un valor cercano a 0 para llegar a el, por ejemplo 0.001, y cuando en f(Xn) haya un valor menor o igual a 0.001, el método termina y la raíz que se estaba buscando queda en el ultimo valor de Xn.

¿Qué ES UN ALGORITMO?

Podemos encontrar muchas definiciones de algoritmo en los textos de programacion, todas ellas muy similares:

• Conjunto ordenado y finito de pasos que permite hallar la solución de un problema.

• Una secuencia de pasos que conducen a la realización de una tarea.

• Descripción exacta de la secuencia en que se ha de realizar un conjunto de actividades tendientes a resolver un determinado tipo de problema o procedimiento.

• Conjunto de sentencias / instrucciones en lenguaje nativo, los cuales expresan la lógica de un programa.

• Es un sistema por el cual se llega a una solución, teniendo en cuenta que debe de ser definido, finito y preciso.

• Toda receta, proceso, rutina, método, procedimiento, técnica, formula que resuelven un determinado problema.

• Conjunto de instrucciones concretas y detalladas mediante el cual se consigue una acción determinada.

• Conjunto de reglas que permiten obtener un resultado determinado a partir de ciertas reglas definidas.

• Descripción precisa de una sucesión de instrucciones que permite llevar a cabo un trabajo en un número finito de pasos.

• Un conjunto de símbolos y procedimientos usados en la realización de un cálculo.

Las definiciones mas completas o formales:

• Secuencia finita de instrucciones, reglas o pasos que describen de forma precisa las operaciones de un ordenador debe realizar para llevar a cabo un tarea en un tiempo mas finito. [Donald E. Knuth, 1968]

• Descripcion de un esquema de comportamiento expresado mediante un reportorio finito de acciones y de informaciones elementales, identificadas, bien comprendidas y realizables a priori. Este repertorio se denomica lexico [Pierre Scholl, 1988]

• Un algoritmo es un conjunto finito de pasos definidos, estructurados en el tiempo y formulados con base a un conjunto finito de reglas no ambiguas, que proveen un procedimiento para dar la solución o indicar la falta de esta a un problema en un tiempo determinado. [Rodolfo Quispe-Otazu, 2004]

Caracteristicas:

Las características fundamentales que debe cumplir todo algoritmo son:

• Ser definido: Sin ambigüedad,

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