Metodos asintoticos
Enviado por Carlos David Teodoro García • 17 de Octubre de 2018 • Tarea • 339 Palabras (2 Páginas) • 116 Visitas
Tarea 4. Capa límite. Problema 1.
Carlos
Resolver la siguiente ecuación cuando [pic 1]
[pic 2]
Sujeta a las siguientes condiciones de frontera:
[pic 3]
[pic 4]
- Solución externa
Primero, resolvemos por medio de perturbación regular, suponiendo que la función y se comporta de la siguiente forma:
[pic 5]
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
[pic 6]
[pic 7]
Analizando para el orden [pic 8]
[pic 9]
[pic 10]
Solucionando la ecuación diferencial:
[pic 11]
Aplicando las condiciones de frontera:
[pic 12]
- Solución interna
Para la solución interna, se utiliza el método de perturbación singular:
[pic 13]
Sustituyendo en la ecuación diferencial:
[pic 14]
Ahora estimamos todos los casos posibles para determinar el valor de alpha, igualando los exponentes de cada término.
- Igualando 1 y 2.
[pic 15]
[pic 16]
- Igualando 1 y 3.
[pic 17]
[pic 18]
- Igualando 2 y 3.
[pic 19]
[pic 20]
Ahora, agrupamos todos los posibles casos y el orden de épsilon resultante para cada término. Es importante recordar que lo más importante es que el primer término (el de la segunda derivada) sea el término de menor orden de épsilon.
Caso | Término | ||
1° | 2° | 3° | |
A | -1 | -1 | 0 |
B | 0 | -1/2 | 0 |
C | 1 | 0 | 0 |
El caso que permite que se cumpla esta condición es el caso A. Por lo tanto:
[pic 21]
Sustituyendo y multiplicando por , obtenemos:[pic 22]
[pic 23]
[pic 24]
Si expresamos a Y como una expansión, tenemos:
[pic 25]
Sustituyendo esta expansión en la ecuación diferencial:
[pic 26]
[pic 27]
Analizando para el orden [pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
Resolviendo la ecuación diferencial tenemos:
[pic 31]
Aplicando la condición de frontera, llegamos a la expresión:
[pic 32]
La otra constante será determinada a partir del acoplamiento de las soluciones y .[pic 33][pic 34]
- Acoplamiento
Las dos soluciones se acoplan de la siguiente manera:
...