Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

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Evolución respecto del tiempo de la posición, de lavelocidad y de la aceleración de un cuerpo sometido a un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, según la mecánica clásica.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), también conocido como movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), es aquel en el que unmóvil se desplaza sobre una trayectoria recta estando sometido a una aceleración constante.

Un ejemplo de este tipo de movimiento es el de caída libre vertical, en el cual la aceleración interviniente, y considerada constante, es la que corresponde a la gravedad.

También puede definirse el movimiento como el que realiza una partícula que partiendo del reposo es acelerada por una fuerza constante.

El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) es un caso particular del movimiento uniformemente acelerado (MUA).

Índice

• 1 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

o 1.1 Deducción de la velocidad en función del tiempo

o 1.2 Dedución de la posición en función del tiempo

o 1.3 Ecuación no temporal del movimiento

• 2 Movimiento acelerado en mecánica relativista

o 2.1 Observadores de Rindler

o 2.2 Horizonte de Rindler

• 3 Movimiento acelerado en mecánica cuántica

o 3.1 Movimiento bajo fuerza constante en mecánica cuántica

o 3.2 Efecto Unruh

• 4 Véase también

• 5 Referencias

o 5.1 Bibliografía

[editar] Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado en mecánica newtoniana

En mecánica clásica el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) presenta tres características fundamentales:

1. La aceleración y la fuerza resultante sobre la partícula son constantes.

2. La velocidad varía linealmente respecto del tiempo.

3. La posición varía según una relación cuadrática respecto del tiempo.

La figura muestra las relaciones, respecto del tiempo, del desplazamiento (parábola), velocidad (recta con pendiente) y aceleración (constante, recta horizontal) en el caso concreto de la caída libre (con velocidad inicial nula).

El MRUA, como su propio nombre indica, tiene una aceleración constante, cuyas relaciones dinámicas y cinemáticas, respectivamente, son:

(1)

En el movimiento rectilíneo acelerado, la aceleración instantánea es representada como la pendiente de la recta tangente a la curva que representa gráficamente la función v(t).

La velocidad v para un instante t dado es:

(2a)

siendo la velocidad inicial.

Finalmente la posición x en función del tiempo se expresa por:

(3)

donde es la posición inicial.

Además de las relaciones básicas anteriores, existe una ecuación que relaciona entre sí el desplazamiento y la rapidez del móvil. Ésta se obtiene despejando el tiempo de (2a) y sustituyendo el resultado en (3):

(2b)

Derivación de las ecuaciones de movimiento

Deducción de la velocidad en función del tiempo

Se parte de la definición de aceleración

y se integra esta ecuación diferencial lineal de primer orden

se resuelve la integral

donde es la velocidad del móvil en el instante inicial .

En el caso de que el instante inicial sea , será

Dedución de la posición en función del tiempo

A partir de la definición de velocidad

integrando

en la que se sustituye el valor obtenido anteriormente para

resolviendo la integral, y teniendo en cuenta que y son constantes:

donde la posición del móvil en el instante .

En el caso de que en el tiempo incial sea la ecuación será:

Ecuación no temporal del movimiento

Se trata de relacionar la posición, la velocidad y la aceleración, sin que aparezca el tiempo.

Se parte de la definición de aceleración, multiplicando y dividiendo por se puede eliminar el tiempo

se separan las variables y se prepara la integración teniendo en cuenta que

y se integra

resultando

y ordenando

[editar] Movimiento acelerado en mecánica relativista

Movimiento relativista bajo fuerza constante: aceleración (azul), velocidad (verde) y desplazamiento (rojo).

En mecánica relativista no existe un equivalente exacto del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la aceleración depende de la velocidad y mantener una aceleración constante requeriría una fuerza progresivamente creciente. Lo más cercano que se tiene es el movimiento de una partícula bajo una fuerza constante, que comparte muchas de las características del MUA de la mecánica clásica.

La ecuación de movimiento relativista para el movimiento bajo una fuerza constante partiendo del reposo es:

(4)

Donde w es una constante que, para valores pequeños de la velocidad comparados con la velocidad de la luz, es aproximadamente igual a la aceleración (para velocidades cercanas a la de la luz la aceleración es mucho más pequeña que el cociente entre la fuerza y la masa). De hecho la aceleración bajo una fuerza constante viene dada en el caso relativista por:

La integral de (4) es sencilla y viene dada por:

(5)

E integrando esta última ecuación, suponiendo que inicialmente la partícula ocupaba la posición x = 0, se llega a:

(6)

En este caso el tiempo propio de la partícula acelerada se puede calcular en función del tiempo coordenado t mediante la expresión:

(7)

Todas estas expresiones pueden generalizarse fácilmente al caso de un movimiento uniformemente acelerado, cuya trayectoria es

...