MÉTODO DE COFACTORES.

MÉTODO DE COFACTORES.

Primero debemos tener en cuenta ciertos conceptos de las matrices como son:

Menor: Es igual al determinante de la matriz que resulta al eliminar una fila y columna, es decir es el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la i-ésima fila y la j-ésima columna de la matriz, por ejemplo si en una matriz de 3 x 3 eliminamos la fila y columna la menor viene denominada por

Cofactor: Se representa con la letra y se calcula de la siguiente manera:

Ya con esto el cálculo de la determinante se obtiene de la siguiente forma, si se escoge a la i-ésima fila para el desarrollo:

Para el cálculo con las j-ésima columna se obtiene de la siguiente manera:

Otra de las formas para la obtención del signo del menor es mediante la siguiente matriz de signos de n x n:

Para justificar el signo del cofactor del elemento, se puede pensar en dos formas.

1. Tendrá signo positivo si la posición del elemento en cuanto a la suma de fila y columna es número par y negativo si la suma da impar.

2. El signo de cofactor del elemento de un determínate tendrá signo positivo o negativo de acuerdo a la siguiente “tabla” de signos. El valor de cualquier determinante de orden n, es igual a una suma algebraica de n términos cada uno de los cuales se forma al multiplicar cada elemento de cualquier fila o columna por si cofactor correspondiente.

CONDICIONES PARA QUE UN DETERMINANTE SEA CERO.

Las condiciones para que el determinante de una matriz sea cero determínate de A =0 son las siguientes:

• a) Toda una fila o columna conste de ceros

• b) Dos filas o columnas sean iguales

• c) Una fila o una columna sea dependiente o múltiplo de otra fila o columna correspondientemente.

Aplicaciones.

Adjunta de una matriz.

Antes de entrar a la resolución de la adjunta de una matriz antes debemos recordar que el cofactor de una matriz viene dado como veces el determinante de la matriz obtenida al eliminar el i-ésima fila y j-ésima columna de la matriz. Siendo A la matriz de n x n, entonces la matriz de cofactores de A se da de la siguiente manera:

La transpuesta del ejemplo anterior se denomina adjunta de la matriz y su notación es, la transpuesta de la matriz A como se muestra a continuación:

INVERSA DE UNA MATRIZ MEDIANTE LA ADJUNTA.

Dada una matriz A invertible, no singular de n x n, entonces la inversa de una matriz viene dado por la siguiente relación:

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