Máquinas Hidráulicas

TEMA 2: FUNDAMENTOS TEÓRICOS DE LAS TURBO MÁQUINAS HIDRÁULICAS

El teorema del impulso o de la cantidad de movimiento en hidráulica.

En una partícula de fluido de masa msometida a una fuerza durante un intervalo de tiempo o dt, el valor de esta dado por la segunda ley de Newton:

Multiplicando los dos miembros por dt e integrando:

Si mes constante:

......................A

Esta ecuación es el teorema del impulso aplicado a una partícula de fluido donde:

Es el impulso de la que varía con el tiempo en el intervalo

Es la ¨cantidad de movimiento de la partícula¨.

La ecuación A o teorema del impulso o cantidad de movimiento es la expresión básica para obtener la ecuación general de las turbo máquinas y su caso particular la ecuación de Euler de las turbo máquinas hidráulicas.

En casos particulares se puede conocer la fuerza y el teorema del impulso sirve para calcular la variación de la cantidad de movimiento. En otros casos se puede conocer esta variación y el mismo teorema permite calcular la fuerza o el impulso.

El teorema del impulso-cantidad de movimiento se puede expresar como:

“Cuando una masa de un cuerpo o fluido cambia su cantidad de movimiento se produce un impulso (a partir de este impulso se puede obtener la fuerza que se produce)”

DESARROLLO DEL TEOREMA DEL IMPULSO EN UN CONDUCTO CON CAMBIO DE DIRECCIÓN.

Considerando una parte comprendida entre las secciones 1 y 2 en donde las velocidades del fluido son y (régimen permanente). El fluido cambia su cantidad de movimiento al variar la sección del tubo y la dirección de la velocidad y por tanto queda sometido a una fuerza, se trata de determinar el valor de esta fuerza.

Las fuerzas que actúan sobre la masa aislada del fluido son:

a)Las fuerzas normales de presión Fp1 y ejercidas por el fluido eliminando a los lados de las secciones 1 y 2.

b)Las fuerzas de gravedad o peso W de la sección aislada.

c)La resultante R’ de todas las fuerzas normales y tangenciales ejercidas por las paredes del tubo o por el fluido circundante.

d)Las fuerzas tangenciales de viscosidad y que en este caso no se consideran.

Considérese un filamento de la corriente y dentro de él una partícula de masa mindicada en la figura. El análisis de las fuerzas debe hacerse en los ejes X, Y y Z; pero suficiente hacerlo en un sólo eje ¨X¨ y hacerlo extensivo a los otros dos.

Aplicando la segunda ley de Newton a la partícula men el eje de las X.

La segunda ley de Newton expresada vectorialmente.

dF ̅_x → Resultante según el eje X de todas las fuerzas que actúen sobre la partícula

m →Masa de la patícula que es infinitesimal ya que: m=ρdV

dV →Diferencia de volúmen de la partícula

Sustituyendo en la expresión:

dF ̅_x=ρdV (dv ̅_x)/dt → dF ̅_x=ρ dV/dt dv ̅_x en donde dV/dt=dQ → dF ̅_x=ρdQ dv ̅_x

Integrando esta expresión a lo largo de todo el filamento de corriente desde 1 hasta 2 considerando =constante y dQ=constante (flujo permanente estacionario).

Resultante según el eje de las X de todas las fuerzas que actúen sobre todas partículas del filamento.

Integrando sobre los filamentos de todo el tubo de corriente entre las secciones 1 y2 se llegara a la siguiente expresión:

Si el régimen es permanente en 1 y 2: y

F ̅=ρQ(v ̅_2-v ̅_1 ) →〖 F〗_x=ρQ(v ̅_x2-v ̅_x1 ), 〖 F〗_y=ρQ(v ̅_y2-v ̅_y1 ) , 〖 F〗_z=ρQ(v ̅_z2-v ̅_z1)

Ecuaciones de la cantidad de movimiento

En donde: ,〖 F〗_x,〖 F〗_y y 〖 F〗_z → Resultante de todas las fuerzas exteriores que se ejercen sobre el fluido aislado incluyendo las fuerzas de viscosidad.

, , , →Velocidad media de la corriente en la sección respectiva.

La ecuación de la cantidad de movimiento es aplicable al fluido real.

APLICACIONES DE LA ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO.

I.- FUERZA SOBRE UN CODO.

El fluido al cambiar en un codo su cantidad de movimiento está sometida a un sistema de fuerzas cuya resultante está dada por la ecuación

El fluido reacciona contra el conducto con una fuerza igual y de sentido contrario. El cálculo previo de esta reacción es necesario para el proyecto de los anclajes de la tubería forzada de una central hidroeléctrica.

El agua cambia su cantidad de movimiento en 1 y 2, en donde los anclajes son reforzados.Se podría considerar que tiende a desplazar toda la tubería aunque también a ¨abrirla¨ en 2.

PROBLEMA:

Un codo horizontal de 60° reductor de 300 a 150 mm deja pasar un caudal de agua de 1800lts/min la presión relativa en la tubería de 300 mm es de 2 bar.Calcular la fuerza resultante .

Q=1800 lt/min=1.8/60=0.03 m^3/s

v_1=Q_1/A_1 =0.03/0.785(〖0.3〗^2 ) =0.4244 m/s v_2=Q_2/A_2 =0.03/0.785(〖0.15〗^2 ) =1.6977 m/s

Considerando ρ=1000 kg/m^3

La resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el fluido es F=ρQ(v ̅_2-v ̅_1 )

Se debe considerar los ejes X y Y: 〖 F〗_x=ρQ(v ̅_x2-v ̅_x1 ), 〖 F〗_y=ρQ(v ̅_y2-v ̅_y1 )

〖 F〗_x=1000(0.03)(v ̅_x2-v ̅_x1 ) → v ̅_x2=v_2 cos⁡60

〖 F〗_x=1000(0.03)[(1.6977)(0.5)-0.4244]=12.7335 N

〖 F〗_y=1000(0.03)(v ̅_y2-v ̅_y1 ) → v ̅_y2=v_2 sen 60

〖 F〗_y=1000(0.03)(1.6977)(0.866)=-44.106 N

F=√(F_x^2+F_y^2 )=√((12.73)^2+(44.1)^2 )=45.9 N

θ=tan^(-1)⁡(F_y/F_x )=74°

La reacción del agua sobre el codo ocurre en dirección y sentido contrario a F y tiende a separar el codo de su brida de abajo hacia arriba.

II. FUERZA SOBRE UN ÁLABE Y POTENCIA DE UNA TURBINA DE IMPULSO

La ecuación F=ρQ∆v explica el funcionamiento de una turbina de impulso o acción.

En las turbinas hidráulicas de acción o Pelton, los álabes en forma de doble cuchara reciben un chorro de agua a una alta velocidad, del orden de 100 m/s y dicho chorro es desviado por cada cuchara, variando así su cantidad de movimiento y generando una fuerza F de impulso, dada por la ecuación anterior.

Si el rodete esta fijo, esta fuerza

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