Máximos Y mínimos De Una Funcion
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Guadalajara, Jal. Septiembre 20 del 2014
Profesora: Eréndira Santos Viveros.
Alumno: Francisco Solís Mancilla
Materia: Calculo diferencial Unidad 3, Números reales y funciones
Actividad 3. Máximo y mínimos y gráfica de una función
Se desea inscribir un cilindro circular recto de volumen máximo dentro de un cono como lo muestra la siguiente figura:
Hallar las dimensiones de dicho cilindro.
Volumen del cilindro = ¶ r² h = ¶ r² *24/10(10-r) = 2.4 ¶ r² (10 - r)
Si r = 0 o r = 10 entonces v = 0, así el volumen máximo no se encuentra en la frontera
V = 2.4 ¶ (10r² - r³)
Derivando con respecto a r se tiene.
dv/dr = d/dr (2.4 ¶ (10r² - r³) = 2.4 ¶ (20r – 3r²)
La solución 2.4¶r = 0 por lo tanto r = 0/(2.4¶)= 0
20 - 3r = 0 por lo tanto r = (-20)/(-3) = 20/3
Entonces los números críticos de V son r = 0 y r = 20/3
Apliquemos ahora el criterio de la segunda derivada
d²/dr (2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4¶ (20 – 6r) = 2.4¶ (20 – 620/3) = 2.4 ¶ 20- 40) =
Sustituyendo r por 20/3
d²/dr (2.4¶ (20r – 3r²)) = 2.4 ¶ (20- 40) = - 48¶<0
El máximo se alcanza en r = 20/3 cm.
El valor correspondiente para h es igual.
h = 24/10(10-r) = 24/10(10-20/3) = 8 cm.
Resumiendo se tiene
El máximo se alcanza en r = 20/3 = 6.666cm.
El máximo alcanza en h = 8 cm
Por lo tanto el volumen máximo del cilindro es.
V = ¶ r² h = ¶ *(20/3)² *8 = ¶ 400/9 8 = ¶ 355.55 = 1117.01 cm³
Dada la función y el punto hallar el punto sobre la gráfica de que está más cerca de .
Los puntos de la función se expresaran de la siguiente forma. (x, x²-3x)
Y su distancia al punto (5, -5) es:
√(〖(x-5)〗^2+(x²-3x+5)²)
Cuando se calcula máximos o mínimos de una raíz cuadrada están en la misma coordenada x que los máximos y mínimos de la función sin raíz.
Por lo que se suprime la raíz para hacer este calculo
f(x9 = (x - 5)² + (x² - 3x + 5)²
Derivando la ecuación anterior se tiene
f´(x) = 2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0
2(x-5) + 2(x² - 3x + 5) (2x-3) = 0
2x- 10 + 4x³ - 6x² - 12x² + 18x + 20x – 30
4x³- 18x² + 40 x – 40 = 0
2x³ - 9 x² + 20x -20 = 0
Aplicando el método de Ruffini para la solución de polinomios.
Por lo tanto los divisores posibles serian ±1, ±2, ±5, ±10
Para x= 1 se tiene 2 - 9 + 20 – 20 = -7
Para x= -1 se tiene - 2 - 9 – 20 - 20 = -7
Para x= 2 se tiene 16 -36 + 40 – 20 = 0
Luego x = 2 es una solución
2 -9 20 -20
2 4 -10 20
2 -5 10 0
2x² - 5x +10 = 0 por sus características tal parece que no tiene raíces reales, el discriminante es 25 – 80 = - 55 negativo, luego no hay raíces.
Solo x = 2 y puede ser el mínimo.
La derivada segunda es
f´´ (x) = 12 x² - 36 x + 40
f´´ (2) = 48 – 72 + 40 = 16 es positivo luego es un mínimo
Las coordenadas del punto más cercano son:
(2, f (2)) = (2, 2²-3*2) = 2, -2) por lo tanto el punto cercano a P0 (2, -2)
Hallar dos números cuya suma de cuadrados es igual a y cuyo producto sea máximo.
x² + y² = 100
y = √(100 – x²)
Por lo tanto los dos números son (x, √(100-x²))
Su producto seria
F(x) = x √(100-x²)) =
Realizando la derivada de la ecuación anterior para obtener el máximo, e igualando a cero
f´(x) = X d/dx ( 〖(100 - x²) 〗^(1/2) + √(100-x²)) d/dx X
f´(x) = 1/2 x 〖(100 - x²)〗^((-1)/2) * (-2x) + √(100-x²))
f´(x) = - x²/√(100-x²)) + √(100-x²)) = (100-x^2-x²)/√(100-x²)) = (100-2x²)/√(100-x²))
Tomando el numerador para obtener los valores 100 - 2x² = 0 x² = (-100)/(-2)
X = 5√2 = 7.07106
Y= √(100-x²)
Y=√(100-(5√2) )² = √(50 ) = √(5²*2) = 5 √2
Y= 5√2 = 7.07106
Dos números cuya suma de cuadrados es igual a
x² + y² = 100
(5 √(2 ) )² + (5 √(2 ) )² = 100
Cuyo producto sea máximo
(5 √(2 )) * (5 √(2 )) = (5 √(2 ))² = 25*2 = 50
En un río de de ancho están ubicados dos puntos y uno frente a otro y del mismo lado de hay un tercer punto ubicado a de tal forma que el segmento es perpendicular a . Una compañía de energía eléctrica quiere tender un cable desde hasta parando por el punto , como lo muestra a figura:
Si el costo por metro del cable bajo tierra es más barato que el cable bajo el agua. ¿Cómo se debe tender el cable para que el costo sea mínimo?
AB = 250 m B C = 500m si X = BD
BD=√(AB²+BD²) = √((250²+X²) = √(62500+X²)
B C serán los metros bajo tierra 500-x
Si el metro bajo tierra vale 0.7
El costo total está dado por.
C x = √(62500+X²) - 0.7 (500 – x)
Derivando para encontrar los extremos relativos
C´ x = √(62500+X²) - 0.7 (500 – x) = 0
C´ x = √(62500+X²) - 0.7 = 0
C´ x = √(62500+X²) = 0.7
X = 0.7√(62500+X²)
Si elevamos al cuadrado se tiene
X² = 0.49 (62500 + X²)
X² (1 - 0.49) = 30625
X² = 30625 / 0.51 = 60049.01961
X = √60049.01961 = 245.0499147
La respuesta no tiene sentido, ya que no cumple la ecuación que había antes de elevar al cuadrado
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