Método de punto fijo

[pic 1]

La iteración de punto fijo para sistemas de ecuaciones no lineales tiene muchas similitudes conceptuales con el método de iteración simple visto en el capítulo raíces de ecuaciones. La dificultad para salvar es la correspondiente al trabajo en espacios de n dimensiones donde los módulos antes utilizadas se valoran ahora en términos de normas de vectores y matrices

Diremos que un punto p es un punto fijo de una función ϕ(x) si se satisface ϕ(p) = p.

Supongamos que se busca una raíz de una ecuación

 f (x) = 0

el método del punto fijo consiste en reescribir esta ecuación de la forma

x = ϕ(x)

y construir una sucesión de la forma

 x1 = ϕ(x0)

 x2 = ϕ(x1) . . .

xn+1 = ϕ(xn)

Dada la ecuación f (x) = x − x 4/5 − 2 = 0

 si tomamos la función de iteración

g(x) = x 4/5 + 2

Las iteraciones:

[pic 2]

Si existe un m tal que xm+1 ≈ xm, se cumplirá que xm ≈ ϕ(xm) y, por tanto, se podrá tomar como valor aproximado de la raíz xm.

Suponemos que se quiere buscar una raíz de la función f (x) = x 3 + 4x 2 − 10 en [1, 2]. Se pueden hacer diferentes elecciones de la función ϕ(x), por ejemplo,

a) ϕ1(x) = x − x 3 − 4x 2 + 10;

 b) ϕ2(x) = 10 x − 4x 1/2;

c) ϕ3(x) = 1 2 10 − x 3 1/2

d) ϕ4(x) = (10/(4 + x))1/2

e) ϕ5(x) = x − x 3 + 4x 2 − 10 / 8x + 3x

Resultado para la iteración del punto fijo x = ϕ(x).

[pic 3]

TEOREMA

Sea ϕ: [a, b] → [a, b] una función continua en [a, b] y derivable en]a, b[, y además que cumple que | ϕ 0 (x) |≤ k < 1, ∀x ∈]a, b[. Entonces existe un único c ∈]a, b[ tal que ϕ(c) = c. Además para todo x0 ∈]a, b[, la sucesión x0, {xn}∞ n=0 obtenida de la forma xn = ϕ(xn−1) converge a c.

Este teorema ayuda a elegir una función ϕ(x) adecuada

[pic 4]

La sucesión converge en [1, 2].

REFERENCIAS

http://personales.upv.es/dginesta/docencia/posgrado/ec_nolineales.pdf

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