Métodos Numéricos en EDP

Métodos Numéricos en EDP

Máster en Ingeniería Matemática UC3M Curso 2012 Lino Gustavo Garza Gaona, Javier Andrés González Pizarro

Práctica 1

Ejercicio 1. Programa un método en diferencias finitas explícito y otro implícito que calcule la solución aproximada en t = 1 de la siguiente ecuación del calor no homogénea con datos de contorno Dirichlet homogéneos, ⎧

ut = uxx + sen(2πx), (x, t) ∈ (0, 1) × (0, 1),⎨ u(0, t) = u(1, t) = 0 t ∈ (0, 1),

⎩

u(x, 0) = sen(πx), x ∈ (0, 1).

Calcula la solución exacta y, para distintos valores del paso espacial h, el error cometido (en t = 1) en norma dos,

⎛⎞

1/2

J−1

f

hh

||V||2 =

|V0|2 + |Vj|2 + |Vj|2

.

⎝⎠

22

j=1

Haz una gráfica en la que se representen esos errores frente al número de nodos y comprueba empíricamente que el método es de orden 2.

Solución

Para encontrar la solución exacta buscamos una solución que se pueda escribir en la forma

∞

f

u(x, t) = un(t) sen(nπx).

n=1

Definimos para nuestro problema F(x, t) = sen(2πx)y f (x) = sen(πx) y suponemos que las podemos escribir como

∞

f

f (x) = sen(πx) = an(t) sen(nπx)

n=1

con n = 1 a1(t) = 1, n = 2 a2(t) = 0, n ≥ 3 an(t) = 0, y

∞

f

F(x, t) = sen(2πx) = bn(t) sen(nπx)

n=1

con n = 1 b1(t) = 0, n = 2 b2(t) = 1, n ≥ 3 bn(t) = 0.

Reemplazando en la ecuación original obtenemos

∞∞∞

ff f

un(t) sen(nπx) = − un(t)(nπ)2 sen(nπx) + bn(t) sen(nπx), n=1 n=1 n=1

1

∞∞

f• •f

un(t) + un(t)(nπ)2 sen(nπx) = bn(t) sen(nπx). n=1 n=1

Resolvemos un(t) + (nπ)2un(t) = bn(t) ∀n ∈ N

si bn = 0(n = 1, n ≥ 3)

u + (nπ)2u = 0,

u = −(nπ)2u, u

= −(nπ)2 ,

u ln u = −(nπ)2t + c1,

−(nπ)2t

u = c1e.

Para n = 2, b2(t) = 1

u + (nπ)2u = 1,

multiplicamos por e(nπ)2t y obtenemos

(nπ)2t (nπ)2t (nπ)2 t

ue+ (nπ)2ue= e,

(nπ)2t(nπ)2 t

(eu) = e,

(nπ)2te(nπ)2 t

eu =+ c2,

(nπ)2 1

−(nπ)2t

un(t) =+ c2e.

(nπ)2

De la condición inicial u(x, 0) = f (x) se obtiene que un(0) = an ∀n ∈ N. Así, podemos obtener el valor de las constantes.

Para n = 1 tenemos u(0) = a1 = 1 ⇒ c1 = 1.

Para n = 2 tenemos 1

...