Metodos Numericos

I N S T I T U T O T E C N O L O G I C O

D E O A X ACA

METODOS NUMERICOS

3ra UNIDAD

“Métodos de solución de Sistemas de Ecuaciones”

ING. MECANICA

LUIS ANGEL SANTIAGO VASQUEZ

N° DE C: 13160930

METODO ITERATIVOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Un método iterativo es un método que progresivamente va calculando aproximaciones a la solución de un problema. En Matemáticas, en un método iterativo se repite un mismo proceso de mejora sobre una solución aproximada: se espera que lo obtenido sea una solución más aproximada que la inicial. El proceso se repite sobre esta nueva solución hasta que el resultado más reciente satisfaga ciertos requisitos. A diferencia de los métodos directos, en los cuales se debe terminar el proceso para tener la respuesta, en los métodos iterativos se puede suspender el proceso al término de una iteración y se obtiene una aproximación a la solución.

En general, en todos los procesos iterativos para resolver el sistema Ax=b se recurre a una cierta matriz Q, llamada matriz descomposición, escogida de tal forma que el problema original adopte la forma equivalente:

Qx = (Q-A)x+b

La ecuación sugiere un proceso iterativo que se concreta al escribir:

El vector inicial x(0) puede ser arbitrario, aunque si se dispone de un buen candidato como solución éste es el que se debe emplear. La aproximación inicial que se adopta, a no ser que se disponga de una mejor, es la idénticamente nula . A partir de la ecuación se puede calcular una sucesión de vectores x(1), x(2), .... Nuestro objetivo es escoger una matriz Q de manera que:

• se pueda calcular fácilmente la sucesión [x(k)].

• la sucesión [x(k)] converja rápidamente a la solución.

METODO DE RICHARDSON

El método de Richardson toma como matriz Q la matriz identidad (I). En este caso la ecuación queda en la forma:

Ix(k) = (I-A)x(k-1)+b = x(k-1)+r(k-1)

en donde r(k-1) es el vector residual definido mediante r(k-1)=b-Ax(k-1).

La matriz identidad es aquella matriz diagonal cuyos elementos no nulos son 1, es decir:

y cumple que

IA = A

para cualquier valor de A; es decir, es el elemento neutro del producto matricial. De acuerdo con esto, la ecuación se puede escribir como:

x(k) = x(k-1) - Ax(k-1) + b = x(k-1) + r(k-1)

en donde un elemento cualquiera del vector r(k-1) vendrá dado por la expresión:

METODO DE JACOBI

El método Jacobi es el método

...