Métodos de solución de sistemas de ecuaciones

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15 de Marzo del 2016

CONTENIDO

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES…………………………1

MÉTODO GRÁFICO…………………………………………………………………………..1

MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA………………………………………………...3

MÉTODO DE GAUSS-JORDAN……………………………………………………………..6

MÉTODO DE FACTORIZACIÓN LU………………………………………………………...8

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL……………………………………………………………..11

MÉTODO DE EIGENVALOR Y EIGENVECTOR…………………………………………14

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………………….……………………16

MÉTODOS DE SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES

Gran número de problemas prácticos de ingeniería se reduce al resolver un sistema de ecuaciones lineales.  Pueden ser también soluciones de ecuaciones no lineales, aproximación polinomial, la solución de ecuaciones diferenciales, entre otros.

MÉTODO GRÁFICO.

Existen métodos para resolver sistemas pequeños de ecuaciones, como  el método gráfico.
El método gráfico consiste en graficar las funciones en coordenadas cartesianas. Debido a que son sistemas de ecuaciones lineales, cada ecuación tiene su propia recta, lo cual es fácil de ilustrar mediante ecuaciones.
Este método permite saber la solución de cada variable (por lo general 2 variables) al identificar el punto en la gráfica en el que las rectas se interceptan.

Ejemplo:

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
3x+2y=18    
-x+2y=2

[pic 2]      [pic 3]

Se puede apreciar en la gráfica que la intercepción entre las 2 ecuaciones es en x=4, y=3
Este método es útil cuando las variables son pocas y los sistema de ecuaciones son pocos.

MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA

El método de eliminación de Gauss (también conocida como eliminación Gaussiana) implica una combinación de ecuaciones para eliminar las incógnitas. Este método es uno de los más antiguos, pero continúa siendo uno de los algoritmos de mayor importancia.
Este método consiste en ir eliminando incógnitas de la matriz hasta formar un sistema triangular superior y así, haber reducido las incógnitas inferiores dejando un único valor para la última incógnita.

De esta forma, habremos obtenido el valor de la primera incógnita, la cual podremos sustituir en la ecuación superior y obtener el valor de la penúltima incógnita y así sucesivamente.

El método de Gauss está ideado para resolver un sistema general de n ecuaciones:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · · + a2nxn = b2

· ·

an1x1 + an2x2 + an3x3 + · · · + annxn = bn

En general, el método consistirá en 2 fases: la eliminación de las incógnitas y su solución mediante la sustitución hacia atrás.

Ejemplo:

Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

-6x + 5y +16z= 80
6x- y -2z= -40
-3x + y+ 2z= 60
y en la forma matricial quedarían como:

Para comenzar, cambiamos los renglones de tal forma que el número mayor quede en la parte superior.

R2←→R1 Y luego haremos que el primer número del primer renglón sea 1  

R1(1/6)  Después sumaremos o restaremos entre los renglones para hacer que el primer número del segundo renglón sea 0.

6R1+R2→R2  Hacemos lo mismo con el renglón 3.

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