Newton Cotes

Introducción

Las formulas de newton-cotes, (nombradas así por Isaac Newton y Roger Cotes) son un grupo de formulas de integración numérica de tipo interpolatorio, en las cuales la función es evaluada es puntos equidistantes, y así hallar el valor aproximado de la integral, cuantos más intervalos sea dividida la función, más preciso será el resultado.

Las formulas de Newton-cotes se pueden clasificar en abiertas y cerradas. Las formulas del trapecio y de Simpson son casos particulares de las formulas cerradas. En ellas se aproxima la integral en el intervalo [X0,Xm] usando el polinomio de interpolación, de grado menor o igual a m, construido a partir de los puntos (X0, Y0), (X1,Y1),…..,(Xm-1,Ym-1),(Xm,Ym), igualmente espaciados en x.

∫_X0^Xm▒f(x)dx~∫_X0^Xm▒Pm(x)dx

La siguiente tabla muestra las más importantes.

M Error

1 h/2(Yo+Y1) -(f"(z))/12 h^3

2 f/3(Yo+4Y1+Y2) -(f^4 (z))/90 h^5

3 3h/8(Yo+3Y1+3Y2+Y3) -(3f^4 (z))/80 h^5

4 2h/45(7Yo+32Y1+12Y2+32Y3+7Y4) -(8f^6)/945 h^7

En todos los casos, Z ϵ [Xo,Xm]

Regla del trapecio

Es un método de integración numérica, es decir un método para calcular aproximadamente el valor de la integral definida.

∫_a^b▒f(x)dx

La regla se basa en aproximar el valor de la integral de f(x) por el de la función lineal que pasa a través de los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)). La integral es igual al área del trapecio bajo la grafica de la función lineal. Se sigue que

∫_a^b▒〖f(x)dx≈(b-a)(f(a)+f(b))/2〗

Y donde el término error corresponde a:

-(b-a)^3/12 f^2 (ϵ)

Siendo ϵ un numero perteneciente al intervalo [a,b].

La regla del trapecio es una forma de aproximar una integral definida utilizando n trapecios. En la formulación de este método se supone que f es continua y positiva en su intervalo de [a,b]. De tal modo la integral definida representa el area de la región delimitada por la grafica de f y del eje x, desde x=a hasta x=b. Primero se divide en el intervalo [a,b] en N subíntervalos, cada uno de ancho ∆x=(b-a)/n

Después de realizar todo el procedimiento matemático se llega a la siguiente fórmula:

∫_a^b▒〖f(x)dx~h/2[f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+⋯f(b)〗]

Donde h=(b-a)/n y n es el numero de divisiones.

Regla de Simpson

En la integración numérica, una forma de aproximar una integral definida en el intervalo [a,b] es mediante la regla del trapecio, es decir que sobre cada subintervalo en el que se divide [a,b] se aproxima f por un polinomio de primer grado, para luego calcular la integral como suma de las áreas de los trapecios formados en esos subíntervalos. El método

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