NÚMEROS NATURALES

NÚMEROS NATURALES

Los números naturales son aquellos que sirven para designar la cantidad de elementos que posee un

cierto conjunto1. Se representan como N.

N = {0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7, ××× }

Los números naturales son infinitos, pues para cada uno de ellos hay otro distinto que le sucede y que no

le precede.

Se habla del orden en estos números a través de su propiedad de tricotomía afirmando que dados n y

m dos números naturales, entonces se tiene exactamente una de las tres posibilidades:

n m

n m

n m

>

=

<

Gráficamente, este conjunto se puede representar mediante una recta numérica en donde los números

son los puntos:

Una operación en N es una manera de asociar a cada par de números naturales, otro número natural

bien determinado. Las operaciones que se definen en este conjunto son la suma y la multiplicación.

Sean a , b y c tres números naturales cualesquiera. Las propiedades básicas de las operaciones

definidas en N son:

1. Cerradura:

a + bÎN

a ×bÎN

2. Asociatividad:

a + (b + c) = (a + b)+ c

a ×(b×c)= (a ×b)×c

1 Existen autores que definen al conjunto de los números naturales como aquellos que sirven para contar, por lo que inician en el

uno. Si incluyen al cero lo definen como conjunto de números naturales ampliados o como números completos.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 N

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Números reales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

2

3. Conmutatividad:

a + b = b + a

a × b = b × a

4. Elementos neutros

Para la suma es el cero ya que: a + 0 = a

Para el producto es el uno ya que: a ×1 = a

5. Distributividad

La propiedad distributiva del producto sobre la suma es: a × (b + c) = a ×b + a × c

Ejemplo.

Dados los números 2 , 3 y 5, comprobar las propiedades de la suma y del producto.

Solución.

Cerradura:

2 + 3 = 5ÎN

2 ×5 =10ÎN

Asociatividad:

2 + (3+5)= (2 + 3)+ 5 =10

2×(3×5)= (2×3)×5 = 30

Conmutatividad:

2 + 3 = 3 + 2 = 5

2 ×3 = 3× 2 = 6

Los elementos neutros:

Para la suma es el cero ya que: 2 + 0 = 2

Para el producto es el uno ya que: 2×1= 2

Distributividad

del producto sobre la suma es: 2×(3+ 5)= 2×3+ 2×5 =16

Un número es múltiplo de otro si se obtiene multiplicando este último por un número natural. Por ejemplo

el número 10 es múltiplo del 5 ya que 10 = (2)(5).

Las propiedades de los múltiplos son:

· El cero es múltiplo de cualquier número

· Un número siempre es múltiplo de si mismo

· La suma de múltiplos de un número también es un múltiplo de este número

· El producto de múltiplos de un número también es múltiplo de este número

· Si un número es múltiplo de otro y este lo es de un tercero, el primero es múltiplo del tercero.

Ejemplos.

El número 0 es múltiplo del 6 ya que 0 = (0)(6)

El número 7 es múltiplo del 7 ya que 7 = (1)(7)

El número 18 es múltiplo del 3 ya que 18 = (3)(6) y el número 12 también es múltiplo del 3 ya que

12 = (3)(4), por lo tanto, el número 30 = 18 +12 es múltiplo del 3 ya que 30 = (3)(10)

El número 6 es múltiplo del 2 ya que 6 = (2)(3) y el número 8 también es múltiplo del 2 ya que

8 = (2)(4) , por lo tanto, el número 48 = (6)(8) es múltiplo del 2 ya que 48 = (2)(24)

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Números reales Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

3

El número 20 es múltiplo del 10 ya que 20 = (10)(2), pero a su vez el número 10 es múltiplo del 5 ya

que 10 = (5)(2), por lo tanto, el número 20 es múltiplo del 5 ya que 20 = (5)(4)

Un número natural es divisor de otro si cuando se divide el primero entre el segundo el residuo es cero,

es decir, si la división es exacta. Por ejemplo el número 2 es divisor del 6 ya que 3

2

6 = .

Las propiedades de los divisores son:

· El número uno es divisor de cualquier número

· Un número siempre es divisor de si mismo

· Si un número es divisor de otro, y éste lo es de un tercero, el primero es divisor del tercero.

Ejemplos.

El número 1 es divisor del 5 ya que 5

1

5 =

El número 11 es divisor del 11 ya que 1

11

11 =

El número 6 es divisor del 12 ya que 2

6

12 = y el número 3 es divisor del 6 ya que 2

3

6 = , por lo

tanto, el número 3 es divisor del 12 ya que 4

3

12 =

Cuando los números son grandes hay reglas que permiten reconocer directamente que un número es

divisible por otro. Estas reglas se conocen como criterios de divisibilidad y los más comunes son:

· Un número es divisible por 2 si termina en cero o en cifra par.

· Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras absolutas es múltiplo de tres.

· Un número es divisible por 4 si en las dos últimas cifras, hay dos ceros o un número múltiplo de cuatro.

· Un número es divisible por 5 cuando acaba en cero o en cinco.

· Un número es divisible por 6 si es divisible por dos y por tres.

· Un número es divisible por 7 si su cifra más significativa menos dos veces su siguiente cifra más

cuatro veces su siguiente cifra y así sucesivamente es cero o múltiplo de siete.

· Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras son ceros o son múltiplo de ocho.

· Un número es divisible por 9 cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

· Un número es divisible por 10 si termina en cero.

· Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras pares y las impares es

múltiplo de once o cero.

· Un número es divisible por 12 cuando divisible por tres y por cuatro.

Ejemplo.

Aplicando los criterios anteriores, determinar la divisibilidad del número 720

Solución:

a) Al terminar en cifra par, 720 es divisible por 2

b) 7 + 2 + 0 = 9 que es múltiplo de 3, así que es divisible por 3

c) las dos últimas cifras son 20 que es múltiplo de 4 , así que es divisible por 4

d) al terminar en cero, 720 es divisible por 5

e) al ser divisible por 2 y por 3, es divisible por 6

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM Números reales Autor: Dr. José Manuel Becerra

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