NÚMEROS REALES

NÚMEROS REALES

Ya dijimos que con los números racionales se pueden representar casi todas las cantidades que se encuentran en la vida cotidiana y, a cada número racional le corresponde una expre- sión decimal finita o periódica y  cada expresión decimal finita o  periódica representa un número racional.

Como ya vimos, los números racionales se pueden representar en una recta numérica donde se fijan  el cero y la unidad de medición. Si bien el conjunto Q es un conjunto denso, porque entre dos  números racionales distintos siempre hay infinitos otros.

Pero aunque lográramos marcar todos  los números racionales en la recta, igual nos quedarían puntos sin marcar, es decir, nos quedarían huecos.

Por ejemplo,  el punto que representa al valor de la medida  de la  hipotenusa del  triángulo  rectángulo cuyos catetos miden 1 es igual al número  que no es un número racional pues, no puede escribirse como un cociente de números enteros,  es decir,  no existe un número  racional cuyo cuadrado sea igual a 2.[pic 1]

Para darle sentido numérico a esos huecos se introduce el conjunto de los números Irraciona

les, que simbolizamos  I, que junto con  Q  forman el conjunto de los números  Reales y  aho- ra si completamos la recta numérica. 

Entonces,  R= Q  I. [pic 2]

El conjunto de los números reales cumple con los axiomas ya enunciados para los números racionales que les da estructura de cuerpo ordenado y denso  

Ahora vamos a demostrar    no es un número racional, es decir, no puede escribirse como cociente de números enteros primos entre sí. [pic 3]

Esta demostración la vamos a realizar por ¨reducción al absurdo ¨, esto significa que  partire- mos negando o suponiendo que es falsa la tesis, que es lo que queremos demostrar, y si llega- mos a la negación nuestras hipótesis, lo cual es un absurdo porque siempre  la hipótesis  es verdadera, entonces el absurdo proviene de negar nuestra tesis, por lo tanto, ésta es verdadera

Teorema: “No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea 2¨

Simbólicamente:   Q tal que = 2 [pic 4][pic 5][pic 6]

Hipótesis:   Q y   es una fracción irreducible  con  q  0.[pic 7][pic 8][pic 9]

Tesis:      [pic 10][pic 11][pic 12]

Demostración: Supongamos que es falso lo que queremos demostrar, es decir, supongamos que  es un número racional que podemos expresar como una fracción irreducible, entonces [pic 13]

   Q tal que    = [pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Si  es un racional existen, dos números enteros p y q, sin divisores comunes, excepto el 1 y el -1 y q  0, pues de otro modo podríamos simplificarlos.[pic 18][pic 19]

Si elevamos al cuadrado ambos miembros de =   nos queda  (  )2 = 2, despejando,  [pic 20][pic 21][pic 22]

 p2  = 2 q2.(1)

La expresión (1) nos dice que p2 es par, ya que es igual a multiplicar 2 por un número entero.  

Por lo tanto, p es par y podemos escribir  p = 2 k  con k  Z.  [pic 23]

Reemplazando p por 2k en (1) nos queda:  (2k)2 = 2 q2   4 k2 = 2 q2 [pic 24]

Simplificando  me queda, q2 = 2 k2.

Luego  q  también es par y podemos escribir:  q = 2 h con h Z. [pic 25]

Así pues, si reemplazamos nos quedo,   =  . [pic 26][pic 27]

Luego, p y q, por ser números enteros pares,  tienen por lo menos un divisor común que es el 2, entonces no son primos entre sí  como  establece  la hipótesis.

Así llegamos a una contradicción a nuestra hipótesis,   que provino de suponer que     es un número racional, por lo cual queda demostrado el teorema por reducción al Absurdo.[pic 28]

  no es un número racional significa que, como todos los números irracionales, no pode- mos expresarlo como fracción.[pic 29]

Si bien los números Irracionales admiten una expresión decimal, ésta es infinita y no periódica.

Si usamos la calculadora nos da una aproximación hasta 10 dígitos,  = 1,424213562……..[pic 30]

 En general, cualquier raíz inexacta de un número racional o alguna combinación algebraica que  la involucre (y que exista) es un número Irracional, y dado que estos tienen un número infinito de cifras decimales es imposible escribir su valor exacto.

 Por ello para operar con estos números se utilizan aproximaciones ó símbolos específicos

Otros ejemplos de números irracionales son:   , - ,  1+,  0,10110111011110., etc.[pic 31][pic 32][pic 33][pic 34]

Además, entre dos números reales hay siempre otro número real.

Por ejemplo, entre el 1,41 y    podemos ubicar el 1,414, pues 1,41 < 1.414 <   .[pic 35][pic 36]

Entre 1,414 y   podemos ubicar el 1,4141, pues 1,41 < 1,414 < 1,4141 <  . [pic 37][pic 38]

Este proceso lo podemos continuar indefinidamente ya que   tiene infinitas cifras decimales no periódicas. [pic 39]

Entonces como ya dijimos el conjunto  R  es denso,  porque entre dos números reales siempre   hay infinitos  reales pero, ahora  su representación  en  la recta  no tiene huecos, es decir,  está Completa. 

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