Núcleo E Imagen De Una Transformación Lineal
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N´ucleo e Imagen de una Transformaci´on Lineal
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
15 de mayo de 2009
´
Indice
22.1. N´ucleo de una transformaci´on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
22.2. El n´ucleo de una matriz y la tecnolog´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
22.3. Inyectividad de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
22.4. El Rango de una transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
22.5. Suprayectividad de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
22.6. N´ucleo e Imagen son subespacios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
22.7. Nulidad y Rango de una Transformaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
22.1. N´ucleo de una transformaci´on lineal
Definici´on 22.1
Sea T : V → W una transformaci´on lineal. El n´ucleo T es el subconjunto formado por todos los
vectores en V que se mapean a cero en W .
Ker(T ) = {v ∈ V | T (v) = 0 ∈ W }
Ejemplo 22.1
Indique cu´ales opciones contienen un vector en el n´ucleo de la transformaci´on de R
3
en R
3
definida como
T
x
y
z
=
−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z
dentro de las opciones:
1. v1
= (0, 0, 0)
′
2. v2
= (12, −28, 8)
′
3. v3
= (1, −2, 1)
′
4. v4
= (3, −7, 2)
′
5. v5
= (2, −4, −4)
′
6. v6
= (9, −18, −15)
′
Soluci´on
Antes de pasar a la verificaci´on, es conveniente observar que es posible encontrar una matriz A tal que
T (x) = A · x. Es decir, aplicar T a un vector x es equivalente a multiplicar por una cierta matriz A al vector x.
Empecemos con la dimensi´on de A: como A se multiplica por la izquierda de x y x ∈ R
3
entonces el n´umero
de columnas de A es 3. Por otro lado, como el resultado A · x es un vector de R
3
, entonces el n´umero de
renglones de A es 3. Si requerimos que
−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z
=
x
y
z
No es dif´ıcil ver
−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z
=
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
x
y
z
es decir que
A =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
El vector v1
est´a en el n´ucleo de T debido a que
T (v1) = Av1 =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
·
0
0
0
=
0
0
0
= 0
El vector v2
est´a en el n´ucleo de T debido a que
T (v2) = Av2 =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
·
12
−28
8
=
0
0
0
= 0
El vector v3
no est´a en el n´ucleo de T debido a que
T (v3) = Av3 =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
·
1
−2
1
=
1
−11
−2
6 = 0
El vector v4
est´a en el n´ucleo de T debido a que
T (v4) = Av4 =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
·
3
−7
2
=
0
0
0
= 0
El vector v5
no est´a en el n´ucleo de T debido a que
T (v5) = Av5 =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
·
2
−4
−4
=
−16
86
14
6 = 0
El vector v6
no est´a en el n´ucleo de T debido a que
T (v6) = Av6 =
−2 0 3
−23 −15 −18
−5 −3 −3
·
9
−18
−15
=
−63
−333
−54
6 = 0
2
Ejemplo 22.2
Determine el n´ucleo de la transformaci´on de R
3
en R
3
definida como
T
x
y
z
=
−2 x + 3 z
−23 x − 15 y − 18 z
−5 x − 3 y − 3 z
Soluci´on
Un vector v = (a, b, c)
′
pertenece al n´ucleo de T si T (v) = 0, es decir si:
T ((a, b, c)
′
) =
−2 a + 3 c
−23 a − 15 b − 18 c
−5 a − 3 b − 3 c
= 0( en R
3
)
Por lo tanto, para pertenecer al n´ucleo debe cumplirse
−2 a + 3 c = 0
−23 a − 15 b − 18 c = 0
−5 a − 3 b − 3 c = 0
Reduciendo tenemos:
a − 3/2 c = 0
b + 7/2 c = 0
Es decir
...