Ondas Electromagn´eticas

Cap´ıtulo 1

Ondas electromagn´eticas

versi´on 29 de junio de 2008

1.1. Electrodin´amica cl´asica

1.1.1. Ecuaciones de maxwell

Las ecuaciones Maxwell permiten calcular los campos el´ectrico, ~E (~r, t),

y magn´etico, ~B(~r, t), a partir de las densidades de carga el´ectrica, ρ(~r, t), y

de corriente el´ectrica, ~(~r, t):

∇ · ~E = 4πρ , ∇ × ~E= −

1

c

∂~B

∂t

, (1.1)

∇ · ~B = 0 , ∇ × ~B =

4π

c

~ +

1

c

∂~E

∂t

. (1.2)

Las ecuaciones de Maxwell son lineales y por tanto la suma de dos soluciones

a dichas ecuaciones es tambi´en una soluci´on, siendo este el principio

de superposici´on. Las ecuaciones son invariantes ante transformaciones de

Lorentz y, por tanto, consistentes con la relatividad especial (cap 4).

La primera ecuaci´on, al ser integrada sobre un volumen esf´erico de

radio r que contiene una carga total Q, da lugar a la ley de Coulomb:

~E

(r) =

Q(< r)

r2 ˆr . (1.3)

En el caso de una carga puntual positiva, las l´ıneas de campo el´ectrico

parten radialmente de la carga. Dichas l´ıneas convergen o divergen de

la carga, dependiendo de su signo (Figura 1.1).

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Figura 1.1: Las l´ıneas de campo el´ectrico divergen de una carga puntual

positiva. Para una carga negativa debemos invertir las flechas.

Siguiendo el principio de superposici´on, la ley de Coulomb para el

campo de una carga puntual q fija en el origen, ~E(~r) = qˆr/r2, da lugar

a la expresi´on general para una distribuci´on est´atica de carga, ρ(~r):

~E

(~r) =

Z ρ(~r′)



~r − ~r′



|~r − ~r′|3

d3r′ . (1.4)

La ecuaci´on 1.1 indica la inexistencia de cargas magn´eticas. Al integrarla

sobre un volumen tenemos el mismo n´umero de l´ıneas saliendo

y entrando a trav´es de la superficie A que encierra al volumen en

consideraci´on, es decir I

A

~B

· dˆa = 0 . (1.5)

lo cual puede ilustrarse con un ejemplo con simetr´ıa cil´ındrica (figura

1.2), en donde las l´ıneas que entran (~B · dˆa < 0) por la tapa inferior

son las mismas que salen (~B · dˆa > 0) por la tapa superior. En otros

t´erminos, las l´ıneas de campo magn´etico no divergen ni convergen en

ning´un punto. El punto de covergencia corresponder´ıa con una carga

magn´etica - ´o monopolo.

La ecuaci´on 1.2 corresponde a la ley de inducci´on de Faraday. Al integrar

sobre una ´area obtenemos que el voltaje inducido, ϕ, est´a dado

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Figura 1.2: L´ıneas de campo magn´etico atravesando un volumen cil´ındrico.

El n´umero de flechas entrando (por unidad de ´area) debe igualar al n´umero

de flechas saliendo, resultando en divergencia nula al integrar sobre las dos

tapas.

por el cambio con el tiempo del flujo magn´etico, m:

−ϕ =

I

C

~E

· dˆl = −

1

c

Z

A

~B ·

d

ˆa

=

−

1

c

dm

dt

, (1.6)

siendo C la trayectoria definida por la frontera de la superfice A. Un

campo magn´etico dependiente del tiempo que atraviesa un circuito

induce un campo el´ectrico, o voltaje, (fig. 1.3). La superficie A debe

ser abierta1 para que est´e definida la curva C.

La ecuaci´on 1.2 contiene la ley de Ampere y la corriente de desplazamiento

de Maxwell. De acuerdo con la ley de Ampere, que se obtiene

de integrar 1.2 con el primer t´ermino del lado izquierdo sobre una

´area cerrada, el paso de una corriente el´ectrica I da lugar al campo

magn´etico: I

C

~B

· dˆl =

4π

c

(I + Id) . (1.7)

1no debe contener a un volumen. El flujo magn´etico total sobre una superficie cerrada

es cero, de acuerdo a ∇ · ~B = 0

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Figura 1.3: Un campo magn´etico con dependencia arm´onica en el tiempo

induce un voltaje con misma dependencia temporal al atravesar un circuito

abierto.

El car´acter rotacional de la ley se manifiesta en que ~B gira alrededor

de ~. El t´ermino a˜nadido por Maxwell, denominado la corriente de

desplazamiento Id, corresponde a la inducci´on de un campo magn´etico

por un campo el´ectrico variable en el tiempo.

1.1.2. Ecuaci´on de continuidad

De las ecuaciones de Maxwell puede obtenerse la ecuaci´on de continuidad,

∂ρ

∂t

+ ∇ · ~ = 0 , (1.8)

que describe la conservaci´on de carga el´ectrica: donde converge (diverge) la

densidad de corriente aumenta (disminuye) la densidad de carga. Para un

conjunto discreto de N cargas puntuales, qi, las densidades est´an dadas por

la suma de las contribuciones individuales:

ρ(~r, t) =

XN

i=1

qi δ (~r −~ri(t)) , ~(~r, t) =

XN

i=1

qi~vi δ (~r −~ri(t)) . (1.9)

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1.1.3. Fuerza de Lorentz y Teorema de Poynting

En presencia de campos electromagn´eticos act´ua sobre toda carga q,

movi´endose con velocidad ~v, la denominada fuerza de Lorentz:

~F = q



~E

+

~v

c × ~B



. (1.10)

La fuerza de Lorentz proporciona una aceleraci´on paralela al campo el´ectrico

y perpendicular al campo magn´etico. En el caso de campos con una direcci

´on fija la tendencia de una carga es moverse en la direcci´on de ~E y girar

alrededor de las l´ıneas de campo magn´etico ~B.

El teorema de Poynting es una relaci´on an´aloga a la ecuaci´on de continuidad,

que se deriva de estimar el trabajo que realiza la fuerza de Lorentz

sobre un conjunto de cargas discretas. Definiendo la densidad de energ´ıa del

campo electromagn´etico,

u ≡

E2

8π

+

B2

8π

, (1.11)

y el flujo de energ´ıa electromagn´etica, o vector de Poynting:

~S

≡

c

4π

~E

× ~B , (1.12)

obtenemos de las ecuaciones de Maxwell la relaci´on:

∂u

∂t

+ ∇ · ~S = −~ · ~E. (1.13)

La diferencia principal entre la ecuaci´on 1.13 y la ecuaci´on

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