Ondas Viajeras

Onda Viajera.

Supongamos una perturbación transversal en una cuerda, donde no hay pérdida en la forma de onda, ya sea un pulso o tren de ondas. La propagación se halla en el plano xy, y la dirección de la propagación en el eje x.

En la figura 1 se observa una onda arbitraria en t=0.Supongamos que el pulso sigue la dirección positiva del eje x con una rapidez v.

Figura 1: Pulso transversal en t=0. El punto P representa un lugar particular en la fase del pulso

En un tiempo t, el pulso habrá viajado una distancia vt, como se muestra en la figura 2.

Figura 2: En un tiempo t, el pulso recorre una distancia vt en la dirección positiva.

La coordenada y indica el desplazamiento transversal de un punto en particular de la cuerda, que depende tanto como de la posición como del tiempo. Esta dependencia se indica como:

y(x ,t)= Ψ(x, t)

Así, en el tiempo t, la onda se describe con:

Ψ(x, t)= ƒ(x´)= ƒ(x-vt)

Si queremos que la onda conserve su forma al desplazarse, la coordenada y(x, t) no debe cambiar, de tal manera que la única forma para que esto ocurra es que es que xp aumenta a medida de que aumente el tiempo. Así el movimiento de la onda deberá tener:

x –vt = constante.

Suponiendo que v es constante y positiva. Si la onda se desplaza en dirección negativa a x, se remplaza v por –v:

Ψ(x, t) = ƒ(x+vt)

La función y(x, t) contiene la descripción completa de la forma de onda y de su movimiento.

La deducción de la ecuación diferencial se inicia derivando la función con respecto al desplazamiento y con respecto al tiempo, usando la regla de la cadena:

Ψ= ƒ(α)

∂Ψ/∂x=∂Ψ/∂α ∂α/∂x=Ψ´∂α/∂x

y

∂Ψ/∂t=∂Ψ/∂α ∂α/∂t=Ψ´∂α/∂x

Evaluando las derivadas:

∂α/∂x=(∂(x-vt))/∂x=1

y

∂α/∂t=(∂(x-vt))/∂t=-v

Debido a que se necesita una relación directamente proporcional entre ambas variables, es necesario derivar por segunda vez para que se generalice la expresión para ambos sentidos, ya que en las ecuaciones anteriores quedaba un signo negativo en la velocidad.

Tomando las segundas derivadas:

(∂^2 Ψ)/(∂x^2 )=Ψ´´

y

(∂^2 Ψ)/(∂t^2 )=-vΨ´=-v ∂Ψ/∂α ∂α/∂t=v^2 Ψ´´

Ya finalmente obtenemos:

(∂^2 Ψ)/(∂x^2 )=1/v^2 (∂^2 Ψ)/(∂t^2 )

Donde la solución a la ecuación diferencial es:

Ψ(x,t)=Acos( kx ±ωt+ ϕ)

Donde el valor de la amplitud como de la constante elástica son los provenientes del movimiento oscilatorio.

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