Pregunta dinamizadoras U1 - Cálculo diferencial e integral

Trabajo 1

Apreciado docente

Buena noche,

Envío a continuación la solución a las preguntas dinamizadoras:

PREGUNTA

Halla la ecuación de la hipérbola cuya representación gráfica es la siguiente:

[pic 1]

Primero haremos un cuadro con algunos puntos por donde pasa la hipérbola en X y Y:

La gráfica ya nos da el eje a y el eje b por donde no pasa la hipérbola o su mismo vértice, los cuales son a = 3 en el eje X y b = 2 en el eje Y.

Como tenemos varias variables, usamos la respectiva fórmula con las variables a y be y reemplazamos sus valores:

Y = (k/(x-a)) + b; al reemplazar los valores de a y b nos queda la siguiente función: Y = (k/(x-3)) + 2.

Solo faltaría el valor de K, por lo tanto, podemos reemplazar uno de los valores del cuadro de X y Y en la fórmula que tenemos para hallar el valor de K.

El reemplazo lo haremos con el vértice X = 5 y Y = 3; 3 = (K/(5-3)) + 2; 1 = K/2; K = 2.

Como hallamos K, reemplazamos y nos queda la fórmula de la hipérbola del ejercicio:

Rta: Y = (2/(x-3)) +2

PREGUNTA

Hallar el área de la región acotada que limita la curva 𝑦 = 𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥 con el eje de abscisas:

Como es con el eje de abscisas entonces Y= 0; por ende, la fórmula queda: 0 = x3 – 6x2 + 8x

Factorizamos y hallamos los valores de X

X (x2 – 6x + 8) = 0; primera solución X1 = 0 entonces (0,0).

Las otras dos soluciones de X se obtienen pasando el X al otro lado y se anularía por ende quedaría:

X2 – 6X + 8 = 0

Usamos la respectiva fórmula de ecuación cuadrática para hallar los otros dos valores de X:

A = 1; B = -6; C = 8

(6 +- √36 – 32) / 2 = (6 +- √4)/2

X2 = 8/2 = 4 entonces (4,0)

X3 = 4/2 = 2 entonces (2,0)

Por lo tanto, los cortes 0X serían = (0,0), (2,0) y (4,0)

Luego para hallar el área A = A1 + A2; debemos encontrar la integral de cada área:

A1 = ∫entre 0 y 2 de (𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥)dx[pic 2]

X4/4 – 6x3/3 + 8x2/2   ; ((2^4)/4) – ((6(2^3))/3) + ((8(2^2))/2) – (0) = 4 -16 + 16 – 0 = 4;               A1 = 4[pic 3][pic 4]

A2 = ∫entre 2 y 4 de (𝑥3 − 6𝑥2 + 8𝑥)dx;  ((4^4)/4) – ((6(4^3))/3) + ((8(4^2))/2 - ((2^4)/4) – ((6(2^3))/3) + ((8(2^2))/2) = 64 – 128 +64 – 4 = -4

A2 = -4

A = A1 + A2; A = 4 – 4 = 0

RTA: el área de la región acotada es igual a 0

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