Presion D Fluidos

¬¬¬1. TEMA

APLICACIÓN DE LA INTEGRAL DEFINIDA

PRESION DE FLUIDOS

CALCULO DE VOLUMEN DE SOLIDOS EN REVOLUCION DE REBANADO Y DISCO

2. INTRODUCCIÓN

Las derivadas y las integrales tienen diferentes campos de aplicación, pero en este caso en particular, nos referiremos a los beneficios que se obtienen mediante el uso de las integrales.

La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la integral definida.

En este trabajo calcularemos el trabajo realizado por una fuerza variable que se aplica sobre un objeto, y la aplicación de la integral definida para determinar la fuerza ejercida por la presión de un líquido, tal como la presión del agua sobre las paredes de un envase

Para llevar a cabo estas aplicaciones, nos valimos del uso de dos herramientas elementales:

• Las integrales definidas y el Teorema Fundamental del Cálculo Integral

Al tener el conocimiento necesario sobre estos dos puntos se podrá

llevar a cabo cualquiera de las aplicaciones aquí mencionadas, sumado claro, con las reglas individuales de cada caso en mención.

Al introducir la integración, vemos que el área es solamente una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante la tenemos en su uso para calcular el volumen de un sólido tridimensional.

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje E de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución

Este tipo de sólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.

Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje OX o al eje OY. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.

3. JUSTIFICACIÓN

El principal fin de este proyecto de investigacion es dar a conocer la aplicación de la Integral Definida. Resaltando la importancia de esta en el ambito de la Ingenieria.

Las integrales definidas nos permiten darle solución a diversos tipos de problemas matemáticos, como por ejemplo calcular la presión de fluidos y el cálculo de volumenes de sólidos en revolución de rebanado y disco mediante el uso de las integrales.

Las matemáticas se ha extendido hacia casi cualquier area de

5. OBJETIVOS:

5.1. OBJETIVO GENERAL

Indagar el cálculo de la presión de fluidos y el volumen de sólidos en revolución de rebanado y disco haciendo uso de la aplicación de la integral definida.

5.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Comprender la relación entre el concepto de integral definida y el cálculo de la presión de fluidos y volúmenes de sólidos en revolución de rebanado y disco.

Calcular áreas y volúmenes de sólidos en revolución como aplicaciones de la integral.

Aplicar la integral para resolver problemas de trabajo mecánico, presión de fluidos, centros de gravedad, momentos de inercia y de otras disciplinas.

Comprender el efecto de la presión y la fuerza en los fluidos, conocer sus expresiones y realizar ejercicios.

6. MARCO TEÓRICO

PRESIÓN:

A la fuerza normal por unidad de área se le llama *presión*,mejor explicado esto, se entiende como que: presión es igual a una fuerza ejercida sobre determinado objeto por una unidad de área, por ejemplo, al pisar el suelo estamos ejerciendo una presión sobre éste.

Para calcular la presión se utiliza una fórmula que es:

La unidad en que se mide es el N/ m2 y éste equivale a un PASCAL

P = Presión F= Fuerza A= Área

P=F/A

PRESIÓN DE UN FLUIDO:

La presión de un fluido, no es la misma que la que se ejerce sobre un sólido. Se debe destacar que el fluido, dependiendo de donde se encuentre contenido, puede o no ca mbiar su forma,

Esta característica de adaptarse a las formas es propia de los fluidos. Para poder obtener la presión de un fluido es necesario que éste se encuentre contenido en un recipiente, ya que, la presión ejercida en el fluido afectara a todo el contenido y no a una parte de él.

El fluido de un recipiente está sometido a mayor presión que el de la superficie esto se debe al peso de líquido que se encuentra arriba.

Un objeto solido puede ejercer únicamente una fuerza hacia arriba debido a su peso. A cualquier profundidad en un fluido la presión es la misma en todas las direcciones.

La presión del fluido es directamente proporcional a su profundidad y densidad

La presión en el fondo de un recipiente solo es en función de la profundidad del líquido y es la misma en todas las direcciones. Puesto que el área en el fondo es la misma en ambos recipientes, la fuerza total ejercida sobre el fondo de cada uno de ellos también es igual.

La fuerza total ejercida en el fondo es como una columna de agua que pesa y por lo tanto ejerce presión.

Los nadadores saben que cuanto más profundo se sumerge un objeto en un fluido mayor es la presión sobre el objeto. Las compuertas de las represas se construyen más gruesas en la base que en la parte superior porque la presión ejercida contra ellas se incrementa con la profundidad. Para calcular la presión de un fluido se emplea una ley física importante que se conoce como el principio de Pascal. Muchos de los trabajos de Pascal fueron intuitivos y carentes de rigor matemático pero anticiparon muchos resultados importantes. El principio de Pascal establece que la presión ejercida por un fluido a una profundidad h es la misma en todas direcciones. La presión en cualquier punto depende únicamente de la profundidad a la que se halla el punto. En un fluido en reposo, la presión p a una profundidad h es equivalente a la densidad w del fluido po r la profundidad, p’ w. h. Definimos la presión como la fuerza que actúa por unidad de área sobre la superficie de un cuerpo.

PRINCIPIO DE ARQUIMIDES:

Un objeto que es parcial o totalmente sumergido en un fluido experimenta una fuerza ascendente (empuje) igual al peso del fluido desalojado.

P=pgh

Donde p es igual a la densidad de masa del fluido y g es la aceleración debida a la gravedad. Por supuesto si deseamos representar la presión absoluta dentro del fluido, tenemos que sumarle también la presión externa ejercida por la atmosfera. La presión total hacia abajo P1 ejercida sobre la parte superior.

P1 = Pa + pgh1

Donde Pa es la presión atmosférica y h1 es la profundidad en la parte superior. En forma similar, la presión hacia arriba P2 en la parte inferior.

P2 = Pa + pgh2

Donde h2 es la profundidad medida en la parte inferior, puesto que h2 es mayor que h1, la presión registrada en la parte inferior es mayor que la presión en su parte superior, lo cual da por resultado una fuerza neta hacia arriba. Si representamos la fuerza hacia abajo como F1 y la fuerza hacia arriba como F2 podemos escribir

F1 = P1A F2 = P2A

La fuerza neta hacia arriba ejercida por el fluido se llama empuje y está dada por:

FB = F2 – F1 = A (P2 – P1) = A (Pa + pgh2 – Pa – pgh1) = Apg (h2 – h1) = ApgH

Donde H = h2 – h1 es la altura. Finalmente, si recordamos que el volumen es V = AH, obtenemos este resultado:

FB = pgV = mg empuje = peso del fluido desalojado

Y éste es el principio de Arquímedes.

PRINCIPIO DE PASCAL

La presión de un líquido es la fuerza por unidad cuadrada de área ejercida por el peso del líquido. Así, si  es la densidad del líquido, entonces la presión ejercida por el líquido en un punto a h unidades debajo de la superficie del líquido es P unidades, donde P = × h.

El principio de Pascal establece que la presión a una profundidad h es la misma en todas las direcciones. Por tanto, si se sumerge una placa plana en un fluido de densidad ρ, la presión sobre un lado de la placa es ρ×h en cualquier punto. Resulta irrelevante si la placa se sumerge horizontal, vertical o de cualquier otro modo.

Consideremos una placa de forma irregular (por facilidad en el dibujo le dimos forma trapezoidal), sumergida en un líquido de densidad , y cuyo ancho es función de la profundidad, dado por w(x). La orientación del eje x por conveniencia la consideramos con el origen en la superficie del líquido (ver la figura que sigue).

Consideremos un elemento muy pequeño y transversal de la placa. En el límite, cuando x sea infinitamente pequeño, su área será w(x)×dx, y podemos aproximar la presión ejercida por el líquido sobre ese elemento por el de uno similar pero orientado horizontalmente, ya que dx es infinitamente pequeño, que será ρ×x y por tanto la fuerza ejercida en ese diferencial de área por el líquido será dF = PdA = ρx w(x)dx. Evidentemente, integrando entre la profundidad del extremo superior de la placa y la profundidad del extremo inferior de la placa tendremos la fuerza total que se ejerce sobre la misma:

Ejemplo.

Un recipiente de forma trapezoidal de 100 cm de profundidad, está lleno de un líquido viscoso cuya densidad es de 1.13 g/cm3. En la superficie el ancho del recipiente es de 100 cm y en el fondo es de 50 cm. Si la superficie del líquido se encuentra

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