Primera Ley De Maxwell

“SOBRE LAS LEYES DE MAXWELL”

PRIMERA ECUACIÓN E MAXWELL-LEY DE GAUSS

Michael Stevel Bohórquez Pérez

(stevelpao@gamail.com)

Erik S. Barrios

(erikbarrios_y_h@yahoo.com)

Xavier Parmenio Salinas

(xavi812921@hotmail.com)

1. INTRODUCCIÓN HISTÓRICA

Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones que aparecieron de manera separada en la publicación de 1861 On Physical Lines of Force por parte del científico James Clerk Maxwell. El trabajo en sí no era obra sólo de Maxwell, en las ecuaciones notamos la ley de Faraday, div B = 0, de su autoría, la ley de Ampère con correcciones hechas por él y la ley de Gauss, Éstas expresan respectivamente como el cambio de los campos magnéticos producen campos eléctricos, la ausencia experimental de monopolos magnéticos, cómo una corriente eléctrica y el cambio en los campos eléctricos producen campos magnéticos y cómo cargas eléctricas producen campos eléctricos. En el trabajo original de Maxwell se podían encontrar muchas otras ecuaciones pero se llegó a simplificarlas a estas cuatro.

Exceptuando la modificación a la ley de Ampère, ninguna de las otras ecuaciones era original. Lo que hizo Maxwell fue re obtener dichas ecuaciones a partir de modelos mecánicos e hidrodinámicos usando su modelo de vórtices de líneas de fuerza de Faraday.

En 1884, Oliver Heaviside junto con Willard Gibbs agrupó estas ecuaciones y las reformuló en la notación vectorial actual. Sin embargo, es importante conocer que al hacer eso, Heaviside usó derivadas parciales temporales, diferentes a las derivadas totales usadas por Maxwell. Ello provocó que se perdiera el término vxB que aparecía en la ecuación posterior del trabajo de Maxwell. En la actualidad, este término se usa como complementario a estas ecuaciones y se conoce como fuerza de Lorentz.

2. ECUACIONES DE MAXWELL

Las leyes experimentales de la electricidad y del magnetismo se resumen en una serie de expresiones conocidas como ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones relacionan los vectores intensidad de campo eléctrico (E) e inducción magnética (B), con sus fuentes, que son las cargas eléctricas, las corrientes y los campos variables. Una clase importante de acción mutua o interacción entre las partículas fundamentales que forman la materia es la interacción electromagnética.

Esta depende de una propiedad característica la carga eléctrica. La modificación del espacio por presencia o movimiento de cargas lo llamamos campo electromagnético, caracterizado por los vectores E y B, de tal forma que la fuerza que aparece sobre una carga eléctrica es : F = q0 (E + v x B ). Los campos E y B quedan determinados por las posiciones de las cargas y por sus movimientos (o corrientes), es por esto que se las denominan fuentes del campo electromagnético, ya que conocidas ellas, a través de las ecuaciones de Maxwell podemos calcular E y B.

Debemos tener presente que las ecuaciones de Maxwell tal como las veremos tienen sus limitaciones. Funciona muy bien para tratar interacciones entre gran número de cargas, como los circuitos eléctricos, las antenas y aún los rayos de átomos o de moléculas ionizados. Las interacciones electromagnéticas entre partículas elementales (especialmente de alta energía) se deben tratar conforme a las leyes de la electrodinámica cuántica.

3. PRIMERA LEY DE MAXWELL O LEY DE GAUSS PARA EL CAMPO ELÉCTRICO

La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del electromagnetismo por dos razones básicas:

1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a una distribución de cargas cuando esta presenta buenas propiedades de simetría. En estos casos, suele resultar mucho más simple usar la ley de Gauss que obtener E por integración directa sobre la distribución de cargas.

2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley básica, no sólo de la electrostática, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una delas ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los fenómenos electromagnéticos).

Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuación matemática que relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada en su interior.

La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto de líneas de campo, el número de líneas de campo que parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el número total de líneas que pasan a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior

Además, como se puede apreciar en la figura, el número de líneas debe ser independiente de la forma de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el número de líneas de campo que atraviesan una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en su interior.

Figura 1, líneas de campo producidas por una densidad de carga atravesando áreas s1, s2 yS3.

3.1 FLUJO ELECTRICO:

El flujo eléctrico dΦ a través de una superficie elemental da se define como el producto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de área da:

dΦ = E*da (1)

Figura 2, vector E y el vector normal da.

El flujo total a través de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en pequeños elementos de superficie _a, en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando el flujo a través de cada uno de estos elementos de superficie

〖 ф〗⁡E=〖lim〗┬(∆Ai→0)⁡∑▒〖E.∆A〗=∬▒〖E.dA〗 (2)

Por tanto, el flujo eléctrico a través de una superficie arbitraria S es igual a la integral de superficie del campo E sobre dicha superficie.

Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante IS, de modo que el flujo a través de una superficie cerrada S se suele escribir:

〖 ф〗⁡E=∮▒〖E.dA〗=qint/ε (3)

Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo eléctrico a través de una superficie:

- Significado: el flujo eléctrico a través de una superficie puede interpretarse como una medida del número de líneas de campo que atraviesan dicha superficie;

- en el caso de una superficie cerrada, las líneas de campo que salen a través

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