Problema Del Vuelo De Un Cohete

Vuelo de un cohete

Un cohete con masa inicial de m_0 Kg se lanza verticalmente desde la superficie de la Tierra. El cohete expele gas a razón de α Kg/seg y a una velocidad constante de β m/seg relativa al cohete. Suponiendo que el campo gravitacional es constante de g Kg/seg² la segunda Ley de Newton da lugar a la ecuación:

(m_0-αt) dv/dt-αβ=-g(m_0-αt)

Donde v=dx/dt es la velocidad del cohete, x es su altura respecto a la superficie de la Tierra y (m_0-αt) es la masa del cohete a los t segundos del lanzamiento. Sabiendo que la velocidad inicial es cero, resuelve la ecuación anterior para calcular la velocidad y altura del cohete para 0 ≤ t ≤

(m_0-αt) dv/dt-αβ=-g(m_0-αt)

M=(m_0-αt)

(Mv^'-αβ=-gM)/M

v^'-αβ=-g

L{v^' }-α/M L{v}= -g L{1}

(sv(s)-v(0))-α/M V(s)= -g/s

sv(s)-α/M v(s)=-g/M

v(s)[s-α/M]= -g/M

v(s)= -(g/s)/((s- α/M)/1)

v(s)= -g/(s ( s-α/M))

Por definición sabemos que:

L{F(t)}= ∫_0^∞▒e^(-st) f(t)dt

g [L^(-1 ) {A/s+ B/((s-α/M) )}]

v (s) encontremos v (t) entonces:

v(t)= L^(-1) {v(s)}= L^(-1) {–g/(s ( s-α/M) ) }

v(t)= -gL^(-1) {1/(s ( s-α/M) ) }

v(t)=-g [L^(-1 ) {A/s+B/((s-α/M) )}]

v(t)=-g [L^(-1 ) {A/s}+ L^(-1) {B/((s-α/M) )}]

1= -gA (s-α/M)-gBs

1= -gAs+g α/M- gBs

1= -gs(A+B)+ gA α/M

(A+B)=0

α/M Ag=1

A= 1/(α/M)

A= M/α

M/α+B=0

b=-M/α

v(t)=-g [L^(-1 ) {(M/α)/s}+ L^(-1) {(-M/α)/((s-α/M) )}]

v(t)=-g M/α+ g M/α e^(α/M t)

v(t)=-g ((m_0-αt))/α+ g ((m_0-αt))/α e^(α/((m_0-αt) ) t)

Para encontrar x (t) tenemos que:

v= dx/dt

vdt=dx

∫▒〖vdt= ∫▒dx〗

x= ∫▒v(t)dt

x(t)= ∫▒〖-g M/α+ g M/α e^(α/M t) dt〗

x(t)= -g M/α t+ g M/α ∫▒〖e^(α/M t) dt〗

u= α/M t

du= α/M dt

dt=du M/α

x(t)= -g M/α t+ g M/α (M/α) ∫▒〖e^u du〗

x(t)= -g M/α t+g M^2/α^2 e^u+ C

x(0)= -g M/α t+g M^2/α^2 e^(α/M t)+ C

x(0)=g M^2/α^2 +C

x(0)- g M^2/α^2 =C

X(t)= -g M/α t+g M^2/α^2 e^(α/M)+x(0)- g M^2/α^2

X(t)= -g ((m_0-αt))/α t+g (m_0-αt)^2/α^2 e^(α/((m_0-αt) ))+x(0)- g (m_0-αt)^2/α^2

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