Problema Lagrange

Solución problema 1

Si usamos la dinámica de Lagrange , tenemos un sistema con una sola coordenada generalizada que llamaremos α. Cabe destacar que debido a la simetría del problema se necesitan dos coordenadas para ubicar la partícula supuesta puntual r y α , pero tenemos una ecuación de vínculo , siendo R el radio de la circunferencia. Por lo tanto usando las ecuaciones de Lagrange con vínculos (Goldstein 3 edición pag 47)

El lagrangiano es y además que hay una sola ecuación de vínculo , lo que me dice que solo el término ∂f1/∂r=1 es diferente de cero. Por lo tanto tenemos el sistema de ecuaciones:

Donde =Fuerza generalizada, fuerza de vínculo, fuerza normal de la superficie y g=aceleración de la gravedad.

De (1) integramos fácilmente teniendo en cuenta que :

Luego con ω =0 si α=0

y reemplazando en (3) tenemos:

donde el signo menos indica correctamente la dirección contraria al versor radial , de la fuerza normal a la superficie.

b)

Usando la dinámica de Newton tenemos por un lado que se puede aplicar la ecuación de conservación de la energía , luego de donde obtenemos: (1),

además usamos la ecuación de Newton en la dirección radial, que nos queda

(2),

con N=fuerza normal a la superficie, ac=aceleración centrípeta.

Entonces que obtenemos si reemplazamos (1) en (2).

En este caso tomé como positivo el sentido contrario al vector radial , por eso da positivo.

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