Problemas De Desigualdades

Problemas de Desigualdades

1. Un peluquero atiendo un promedio de 100 clientes a la semana y les cobra $50 por corte. Dado esto podemos saber que a la semana el gana 50 x 100= $5000 a la semana. Por cada incremento de $7.5 en la tarifa, el peluquero pierde a 10 clientes. ¿ Qué precio deberá fijar de modo que los ingresos semanales no sean menores de los que el obtiene por la tarifa de $50?

Solución

Sea x el número de incrementos de $7.5 en la tarifa por encima de $5. Entonces el precio por corte es de (50+7.5x) pesos y el número de clientes que acuden con esta tarifa será (100-10x) a la semana.

(100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500

500 + 25x – 7.5x2 ≥ 500

25x – 7.5x2 ≥ 0

2.5x (10 – 3x) ≥ 0

Dado que x es positiva, podemos dividir ambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos

10 – 3x ≥ 0

x ≤ 10/3.

Así debería haber a lo más 10/3 incrementos de $7.5 o $25. El peluquero debería cobrar una tarifa máxima de $50 + $25 = $75 por corte con el objeto de obtener al menos los mismos ingresos que los correspondientes a 100 clientes cobrándoles $50 por corte.

2. El administrador de una fábrica debe decidir si deberán producir sus propios empaques, que la empresa ha estado adquiriendo de proveedores externos a U.S. $1,10 cada uno. La fabricación de los empaques incrementaría los costos generales de la empresa en U.S. $800 al mes y el costo de material y de mano de obra será de U.S. $0,60 por cada empaque. ¿Cuántos empaques deberá usar la empresa al mes para justificar la decisión de fabricar sus propios empaques?

SOLUCIÓN

Sea x el número de empaques utilizados por la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir x empaques a U.S. $ 1,10 cada uno es de 1.10x dólares. El costo de fabricar x empaques es de U.S. $0.60 por empaque más costos generales de U.S. $800 al mes, de modo que el costo total es

0.60x + 800

Para justificar la fabricación de los empaques por la empresa misma, debe ser cierta la desigualdad siguiente.

Costo de adquisición > costo de fabricación

1.10x > 0.60x + 800

1.10x – 0.60x > 800

0.50x > 800

X > 1600

En consecuencia, la empresa debe usar al menos 1601 empaques al mes para justificar el fabricarlos.

3. Un camión de 18 ruedas se detiene sobre una balanza antes de pasar un puente. El peso límite del puente es de 65,000 libras. La cabina del camión pesa 20,000 libras, y la caja del camión pesa 12,000 libras cuando está vacía. En libras, ¿cuál es la carga que puede llevar el camión

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