Programacion lineal

Programación Lineal

1.- Calcula los puntos del recinto que hacen mínima o máxima la función ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤−≥+200202202yyxyx

f(x,y) = 2 x + y. ¿ Cuántas soluciones hay?

Solución:

Representemos el sistema de inecuaciones dado.

• Para representar 2x + y ≥ 20 comenzaremos con la representación de la recta 2 x + y = 20 que pasa por los puntos ( 10, 0 ) y ( 5, 10 ). Para saber qué semiplano es a la solución del problema elijamos un punto cualquiera que no pertenezca a la recta, por ejemplo ( 0, 0 ), comprobando que :

• 2 . 0 + 0 ≤ 0, de donde deducimos que el semiplano solución es aquel al que no pertenece el punto (0,0).

• Se procede de manera análoga con la inecuación 2 x – y ≤ 20 La

condición 0 ≤ y ≤ 20, representa la zona comprendida entre las rectas y= 0 (eje de abscisas) y la recta y = 20 ( paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto ( 0, 20 ) ). región factible es

poligonal limitada por los puntos A, B y C. Las soluciones óptimas se encuentran en los vértices de la región factible por lo que vamos a calcular sus coordenadas.

• Coordenadas de A. Se obtienen de la solución del sistema obteniendo A (0, 20) ⎩⎨⎧==+20202yyx

• Coordenadas de B. Se obtienen de la solución del sistema obteniendo B (10, 0) ⎩⎨⎧=−=+202202yxyx

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Programación lineal

• Coordenadas de C. Se obtienen de la solución del sistema obteniendo C (20, 20) ⎩⎨⎧==−20202yyx

En cada uno de estos puntos, la función objetivo, toma los valores siguientes:

• f(A) = f(0,20) = 2 . 0 + 20 = 20

• f(B) = f(10,0) = 2. 10 + 0 = 20

• f(C) = f(20,20) = 2.20 + 20 = 60

De los resultados obtenidos se deduce que:

• El máximo se alcanza en el punto C y su valor es 60

• El mínimo se alcanza en los puntos A y B por lo que se alcanzará el mismo valor en todos los puntos del segmento AB. Este valor mínimo es 20

2.-

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