Propiedades de las operaciones lógicas

Propiedades de las operaciones lógicas

Vamos a examinar las propiedades que tienen las operaciones lógicas antes definidas, para ello consideramos que p, q y r son tres proposiciones cualesquiera. Entonces tenemos los siguiente:

1) Idempotencia

p˄p ≡ p

p˅p ≡p

2) Asociatividad

(p˄q)˄r ≡ p˄(q˄r)

(p˅q)˅r ≡ p˅(q˅r)

3) Conmutatividad

p˄q ≡ q˄p

p˅q ≡ q˅p

4) Distributividad

p˄(q˅r) ≡ (p˄q)˅(p˄r)

p˅(q˄r) ≡ (p˅q)˄(p˅r)

5) Identidad

p˄(F) ≡ (F)

p˅(F) ≡ p

p˄(V) ≡ p

p˅(V) ≡ (V)

6) Complemento

p˄(~p) ≡ (F)

p˅(~p) ≡ (V)

~(~p) ≡ p

~(V) ≡ (F)

~(F) ≡ (V)

7) Condicionantes

(p → q) ≡ (~p ˅ q)

(p → q) ≡ (~q → ~p)

(p ↔ q) ≡ (p → q) ˄ (q → p)

(p ↔ q) ≡ (~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)

8) De Morgan

~(p ˅ q) ≡ (~p ˄ ~q)

~(p ˄ q) ≡ (~p ˅ ~q)

~(p → q) ≡ (p ˄ ~q)

~(p ↔ q) ≡ (~p ↔ ~q)

Con la ayuda de estas propiedades podemos simplificar proposiciones compuestas o hallar su valor de verdad

Ejemplo

(p ˄ q) → [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)]

~(p ˄ q) ˅ [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)] condicionante

(~p ˅ ~q) ˅ [(~p ˅ q) ˄ (~q ˅ p)] De Morgan

[(~p ˅ ~q)˅(~p ˅ q)] ˄ [(~p ˅ ~q) ˅ (~q ˅ p)] distributividad

[(~p ˅ ~p)˅(q ˅ ~q)] ˄ [(~p ˅ p) ˅ (~q ˅ ~q)] conmutatividad, asociatividad

[~p ˅ (v)] ˄ [(v) ˅~q] idempotencia, complemento

(v) ˄ (v) identidad

(v) identidad

Como la proposición se simplifica al valor de verdad (V), ésta es una tautología.

Es decir la proposición compuesta es equivalente a una proposición más simple que resulta de la simplificación de la primera.

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