Prueba De Bondad De Ajuste De Kolmogorov-Smirnov (KS)

Prueba de Bondad de Ajuste de

Kolmogorov-Smirnov (KS)

Hipótesis a contrastar:

H0: Los datos analizados siguen una distribución M.

H1: Los datos analizados no siguen una distribución M.

Estadístico de contraste:

0

1

sup ˆ ( ) ( ) n i i

i n

D Fx Fx

≤ ≤

= −

donde:

• xi es el i-ésimo valor observado en la muestra (cuyos

valores se han ordenado previamente de menor a mayor).

• ˆ ( ) n i F x es un estimador de la probabilidad de observar

valores menores o iguales que xi.

• 0F (x) es la probabilidad de observar valores menores o

iguales que xi cuando H0 es cierta.

Así pues, D es la mayor diferencia absoluta observada entre la

frecuencia acumulada observada ˆ ( ) n F x y la frecuencia

acumulada teórica 0F (x), obtenida a partir de la distribución de

probabilidad que se especifica como hipótesis nula.

Si los valores observados ˆ ( ) n F x son similares a los esperados

0F (x), el valor de D será pequeño. Cuanto mayor sea la

discrepancia entre la distribución empírica ˆ ( ) n F x y la distribución

teórica , mayor será el valor de D.

Por tanto, el criterio para la toma de la decisión entre las dos

hipótesis será de la forma:

Si D≤Dα ⇒ Aceptar H0

Si D>Dα ⇒ Rechazar H0

donde el valor Dα se elige de tal manera que:

( )

( )

0 0 P H H

P D Dα

α

=

= > =

Rechazar es cierta

Los datos siguen la distribucion M

siendo α el nivel de significación del contraste.

Para el cálculo práctico del estadístico D deben obtenerse:

1 0 1 0

max ( ) , max ( ) 1 i n i i n i

D iFx D F xi

n n

+ −

≤ ≤ ≤ ≤

= −  =  −− 

   

y a partir de estos valores:

D= max{D+,D−}

A su vez, el valor de Dα depende del tipo de distribución a probar

y se encuentra tabulado. En general es de la forma:

( )

D c

k n

α

α =

donde cα y k(n) se encuentran en las tablas siguientes:

cα α

Modelo 0.1 0.05 0.01

General 1.224 1.358 1.628

Normal 0.819 0.895 1.035

Exponencial 0.990 1.094 1.308

Weibull n=10 0.760 0.819 0.944

Weibull n=20 0.779 0.843 0.973

Weibull n=50 0.790 0.856 0.988

Weibull n=∞ 0.803 0.874 1.007

DISTRIBUCIÓN QUE SE

CONTRASTA k(n)

General. Parámetros conocidos.

k(n) n 0.12 0.11

n

= + +

Normal

k(n) n 0.01 0.85

n

= − +

Exponencial

k(n) n 0.12 0.11

n

= + +

Weibull k(n) = n

Ejemplo 1:

Determinar si los valores de la primera columna se conforman a una

distribución normal:

Y Y-ordenados Orden F Z Fo D+ D-

6.0 1.9 1 0.1 -1.628 0.051 0.049 0.051

2.3 2.3 2 0.2 -1.332 0.091 0.109 -0.009

4.8 3.3 3 0.3 -0.592 0.276 0.024 0.076

5.6 3.4 4 0.4 -0.518 0.302 0.098 0.002

4.5 4.5 5 0.5 0.296 0.616 -0.116* 0.216*

3.4 4.5 6 0.6 0.296 0.616 -0.016 0.116

3.3 4.8 7 0.7 0.518 0.698 0.002 0.098

1.9 4.8 8 0.8 0.518 0.698 0.102 -0.002

4.8 5.6 9 0.9 1.11 0.867 0.033 0.067

4.5 6.0 10 1.0 1.406 0.920 0.080 0.020

(media: 4.1 varianza: 1.82)

0.895 0.895 0.262

10 0.01 0.85 3.42

10

Dα= = =

− +

Como el valor D = 0.216 < 0.262, no se rechaza H0 y se acepta

que los datos se distribuyen normalmente.

Modo alternativo de realizar la prueba de Kolmogorov

Smirnov.

La toma de la decisión en el contraste anterior puede llevarse a

cabo también mediante el empleo del p-valor asociado al

estadístico D observado. El p-valor se define como:

( obs 0 ) p-valor = P D>D H es cierta

Si el p-valor es grande significa que, siendo cierta la hipótesis

nula, el valor observado

...