Puntos Notables

Los puntos notables de un triángulo son:

• Circuncentro

• Incentro

• Baricentro

• Ortocentro

Circuncentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la mediatriz de un lado de un triángulo equidista de los vértices que definen dicho lado. Luego si llamamos O al punto de intersección de las mediatrices de los lados AB y BC , por la propiedad anterior, el punto O equidista de los vértices A y B (por estar en la mediatriz de AB) y de los vértices B y C (por estar en la mediatriz de BC). Luego equidista de A , B y C .

Al equidistar de los tres vértices del triángulo, en particular, equidista de A y C, lo que demuestra que también estará en la mediatriz del lado AC y, además, será el centro de una circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.

De lo anterior, concluímos:

1. Las tres mediatrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por O, y que recibe el nombre de CIRCUNCENTRO.

2. El punto de corte de las tres mediatrices es el CENTRO de un circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo, que llamaremos circunferencia circunscrita.

Observa el circuncentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 11:

A la vista de los dibujos anteriores, podemos enunciar la siguiente propiedad:

"El Circuncentro de un triángulo rectángulo es el punto medio de la hipotenusa"

"El Circuncentro de un triángulo acutángulo está en el interior del triángulo"

"El Circuncentro de un triángulo obtusángulo está en el exterior del triángulo"

Ejercicio 11:

1. Con ayuda de una regla y compás::

a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

b. Dibuja dos de sus mediatrices (las que tú quieras).

c. Señala el punto de intersección de ambas.

d. Traza la circunferencia con centro en ese punto y radio la distancia al vértice A.

e. Comprueba que dicha circunferencia pasa por los vértices B y C.

2. Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.

3. Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.

4. Comprueba que se ha verificado la propiedad 11 en cada uno de los triángulos que has dibujado.

Incentro

Según se vio en la lección anterior, cualquier punto de la bisectriz de un ángulo de un triángulo equidista de los lados que definen dicho ángulo. Luego si llamamos I al punto de intersección de las bisectrices de los ángulos A y B, por la propiedad anterior, el punto I equidista de los lados AB y AC (por estar en la bisectriz de A ) y de los lados AB y BC (por estar en la bisectriz de B). Luego equidista de los lados AB , BC y CA..

Al equidistar de los tres lados del triángulo, en particular, equidista de CA y CB, lo que demuestra que también estará en la bisectriz del ángulo C y, además, será el centro de una circunferencia que es tangente a los tres lados del triángulo.

De lo anterior, concluímos:

1. Las tres bisectrices de un triángulo se cortan en un ÚNICO punto, que denotaremos por I, y que recibe el nombre de INCENTRO.

2. El punto de corte de las tres bisectrices es el CENTRO de un circunferencia tangente a los tres lados del triángulo, que llamaremos circunferencia inscrita.

Observa el incentro en los casos de que el triángulo sea rectángulo, acutángulo u obtusángulo, respectivamente.

Propiedad 12:

"El incentro de un triángulo cualquiera está siempre en el interior del triángulo"

Ejercicio 12:

1. Con ayuda de una regla y compás::

a. Dibuja un triángulo acutángulo cualquiera.

b. Dibuja dos de sus bisectrices (las que tú quieras).

c. Señala el punto de intersección de ambas.

d. Traza la circunferencia con centro en ese punto y tangente al lado AB.

e. Comprueba que dicha circunferencia también es tangente a los otros dos lados.

2. Repite el ejercicio anterior con un triángulo rectángulo.

3. Repite el ejercicio anterior con un triángulo obtusángulo.

4. En cada uno de los triángulos que has dibujado, comprueba que el incentro está siempre en el interior del triángulo.

Baricentro

Las tres medianas de un triángulo, al igual que ocurría con las mediatrices y bisectrices, se cortan en un ÚNICO punto, que llamaremos BARICENTRO.

Como puedes ver en los dibujos anteriores, no hay diferencias significativas en la situación del baricentro, dependiendo del tipo de triángulo (rectángulo, acutángulo u obtusángulo). En cualquier triángulo, el baricentro siempre es interior al mismo, más aún, es el centro de gravedad del triángulo y se denotará por G.

Propiedad 13:

"El baricentro de un triángulo, es un punto interior al mismo, que dista el doble de cada vértice que del punto medio de su lado opuesto"

Sin entrar en la demostración, que se sale fuera de los objetivos de este curso, sí que lo veremos gráficamente en los tres casos: triángulos rectángulos, acutángulos y obtusángulos, respectivamente.

Se han denotado

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