Que se realice una gran cantidad de iteraciones y el método no converja

Los métodos para hallar raíces son métodos iterativos, o sea son métodos cuyo proceso se repite varias veces.  La cantidad de veces es indeterminado por lo cual se debe tener criterios para poder detenerse y saber si se hallo o no la solución con el método.  Estos criterios son:

1.       Que la función evaluada en el valor hallado sea igual o se aproxime a cero.

2.       Que el error (absoluto o relativo) tienda a cero (el cual se calcula con el valor actual y el valor obtenido en  el paso anterior)

3.       Que se realice una gran cantidad de iteraciones y el método no converja

Si se cumple las dos primeras condiciones se dice que se hallo la raíz y es el último valor de x hallado.

Raíces de un polinomio

La raíz de un polinomio es un número tal que hace que el polinomio valga cero. Es decir que, cuando resolvamos un polimonio a cero, las soluciones son las raíces del polinomio.

Por ejemplo el polinomio

Cuando lo igualamos a cero y lo resolvemos tenemos:

Puesto que x1 = - 4 y x2 = 3 son soluciones de f(x) entonces f( -4 )= 0 y f( 3 )= 0. Decimos entonces que x = - 4 y x = 3 sonraíces del polinomio f(x)= x2 + x - 12

Las raíces de f(x) = x3 - 4 x2 + x + 6 son x = - 1, x = 2 y x = 3

Existen una serie de reglas que pueden ayudar a determinar las raíces de una ecuación:

• El teorema de Bolzano, que establece que si una función continua, f(x), toma en los extremos del intervalo [a,b] valores de signo opuesto, entonces la función admite, al menos, una raíz en dicho intervalo.
• En el caso en que f(x) sea una función algebraica (polinómica) de grado n y coeficientes reales, podemos afirmar que tendrá n raíces reales o complejas.
• La propiedad más importante que verifican las raíces racionales de una ecuación algebraica establece que si p/q es una raíz racional de la ecuación de coeficientes enteros: 

[pic 1]

entonces el denominador q divide al coeficientes an y el numerador p divide al término independiente a0.

Ejemplo: Pretendemos calcular las raíces racionales de la ecuación: 

3x3 + 3x2 - x - 1 = 0

Primero es necesario efectuar un cambio de variable x = y/3: 

[pic 2]

y después multiplicamos por 32: 

y3 + 3y2 -3y -9 = 0

con lo que los candidatos a raíz del polinomio son: 

[pic 3]

Sustituyendo en la ecuación, obtenemos que la única raíz real es y = -3, es decir, [pic 4] (que es además la única raíz racional de la ecuación). Lógicamente, este método es muy poco potente, por lo que sólo nos puede servir a modo de orientación.

Búsqueda de raíces

• Dado el caso de que tanto el dominio como la imagen de la función sean los números reales (denominadas funciones reales) entonces los puntos en los que el gráfico corta al eje de las abscisas es una interpretación gráfica de las raíces de dicha función.
• El teorema fundamental del álgebra determina que todo polinomio en una variable compleja y de grado n tiene n raíces (contando susmultiplicidades). Aun así, Las raíces de los polinomios reales no son necesariamente reales; algunas de ellas, o incluso todas, pueden ser complejas.
• Una función trascendente como por ejemplo [pic 5] posee una infinidad de raíces, concretamente cualquier [pic 6] es raíz de esa función. En cambio la función [pic 7] no se anula nunca sobre los números complejos.
• El número de raíces de una función holomorfa o una función analítica es un conjunto numerable sin puntos de acumulación.
• Uno de los problemas no resueltos más interesantes de la matemática moderna es encontrar las raíces de la función zeta de Riemann.
• La resolución numérica de ecuaciones no lineales es la utilización de un método numérico para encontrar raíces de una función de manera aproximada.

Raíces simples y múltiples

Dada una función f que tiene una raíz r entonces se puede escribir dicha función como:

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