Recorrido y Dominio. Valor Característico

Álgebra Lineal

TEMA 13  

Recorrido y Dominio. Valor Característico

• Recorrido y Dominio:

Siendo la expresión matricial de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas,

[AT(mxn)][x] = [b]

podemos decir que en esta expresión:

[At ]: Viene a ser la matriz de coeficientes del sistema de ecuaciones y por su propia naturaleza , es una matriz de transformación.

[x] : vector columna de las incógnitas, es un elemento del  espacio vectorial Rn  

[b] : vector de términos independientes es un elemento del espacio vectorial  Rm .

(En lenguaje matemático [x] ∈Rn  ; [b]∈Rm)

Entonces, se puede decir que similar a los conceptos del mismo nombre  utilizados en una función, la matriz [AT] tiene Dominio: en Rn.

El espacio vectorial de [b]  determina dimensión del Recorrido (o rango, o contradominio, o imagen) que será de una dimensión máxima Rm.

Cuando a una matriz se aplica el método de Gauss para modificar sus renglones por medio de operaciones de renglón, se dice que el Rango o Recorrido equivale al número de pívots^[1] que salgan del Gauss-Jordan.

A la diferencia de (m – Recorrido) se le llama Nulidad ,  pues viene a ser el número de reglones que se anulan de Rm, pues vienen a ser los vectores nulos  (01, 02, … , 0n) de dimensión n que quedan en la matriz  bajo la diagonal principal.

Ej: Dada la matriz [A]= Halle el rango y la nulidad. Si esta Matriz fuera representativa de la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones, dé un vector de  respuesta aceptable, de ser posible.[pic 1]

Solución: 1) Se lleva a una matriz escalonada:

             R2=R2-2R1                      R3=R3-7R1                             R4=R4-10R1

             R2=( 2, 1, -4,-5)               R3=( 7,    8,-5,  -1)                   R4=( 10, 14,  -2,    8)

-2(1,2,1,3)=(-2,-4,-2,-6)   -7(1, 2,1,3)=(-7,-14,-7,-21)    -10(1,2,1,3)=(-10,-20,-10, -30)

             R2 =(0, -3, -6, -11)                    R3= (0,   - 6, -12, -22)                       R4=(    0,  - 6,  -12,  -22)

[A]=[pic 2]

R4= R4–R3;                                                    R3=R3–2R2;                    R2 = R2/(-3)            

 (0,  - 6,  -12,  -22)                                      (0,  - 6,  -12,  -22)                  (0, -3, -6, -11) = (0,  1,  2,  )[pic 3][pic 4]

 (0,  - 6,  -12,  -22)          2(0, -3, -6, -11)= (0,  - 6,  -12,  -22)                                        

 (0,    0,     0,     0)                                      (0,    0,     0,     0)

                                                                    Quedando: [A]=  [pic 6][pic 5]

Por tanto,  tenemos:  Dominio= 4;  Rango= 2;  Nulidad= 2

Ahora,  si hacemos R1=R1- 2R2 :  (1,2,1,3) –2(0,  1,  2,  ) =  (1, 0, –3,  )[pic 7][pic 8]

                                                                    Quedando: [A]=  [pic 10][pic 9]

R/Lo que arrojaría ∞ # de soluciones en función de x3.

la matriz Columna del vector solución es [x]=  [pic 11]

Entonces: para   x3=0:    ;   para x3=1:    ;   para x3= -1     … etc   [pic 12][pic 13][pic 14]

… Serian algunos del ∞ # de juegos de respuestas aceptables.

Ojo:

Cuando se trata de un sistema de ecuaciones llevado a una matriz aumentada, se puede afirmar que solo tendrá respuesta única, si el Rango de la matriz de coeficientes es el mismo (=)  del de la Matriz aumentada del sistema.

Cuando el rango de la matriz aumentada es > que el rango de la matriz de coeficientes, el sistema es inconsistente.

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