Relaciones matemáticas
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Relaciones
Trujillo Alvarado Carlos Eduardo
UAPT, Unidad Académica Profesional Tianguistenco
Ingeniería en Software
Matemáticas Discretas
Profesor José Francisco Mejía Carbajal
14 de noviembre de 2023
Son la relación de dos conjuntos ordenados. Una relación entre dos conjuntos, llamados dominio y contradominio hace que a cada elemento del dominio le pertenezca a lo más uno del contradominio.
Relación binaria
Un conjunto X y un conjunto Y de otro conjunto R tendrá un subconjunto del producto cartesiano X*Y.
Si (x,y) € R se escribe xRy y se dice que x está relacionada con y.
Si X=Y, R se le llama relación binaria sobre x.
El conjunto {x€|(x,y)€R para alguna y€Y} se le llama dominio de R.
Concepto de relación
La relación R sobre X = (a,b,c,d) es:
R= [(a,a),(b,c),(c,b),(d,d]
Y su digráfica es:
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Propiedades de las relaciones
Reflexiva
Una relación R en un conjunto X se llama reflexiva si (x,x) € R para todo x € X.
La relación R sobre X = {1,2,3,4} definido por (x,y) € R si x=y, x, y € R es reflexiva porque cada elemento x € X, (x,x) € R
Por lo tanto: (1,1), (2,2), (3,3) y (4,4) están en R y su digráfica tiene un lazo.
Ahora, la relación R = {(a,a),(b,c),(c,b),(d,d)} sobre X = {a,b,c,d} no es reflexiva porque b € X pero (b,b) no pertenece a R.
Simétrica
Una relación R sobre un conjunto X es simétrica para toda X, y € X si (x,y) € R entonces (y,x) € R.
La relación R = {(a,b),(b,c),(c,b),(d,d)} sobre X = {a,b,c,d} es simétrica porque para toda x, y, si (x,y) € R entonces (y,x) € R.
No simétrica
Una relación R en un conjunto X se le llama no simétrica o asimétrica si para toda x,y€X si (x,y) € R y*y entonces (y,x) € R.
La relación R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x,y) € R si x <= y, x, y € X es no simétrica.
Por ejemplo (2,3) € R pero (3,2) n. La digráfica tiene una arista dirigida de 2 a 3 pero no de 3 a 2.
Transitiva
Una relación R en un conjunto X se llama transitiva para toda x, y, z € X, si (x,y) y (y,z) € R entonces (x,z) € R.
La relación R sobre X = {1,2,3,4} definida por (x,y) € R si x <= y, x, y € X es transitiva porque para toda x,y,z si (x,y) y (y,z) € R entonces (x,z) € R.
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