SEMEJANZA DINÁMICA, LA CIENCIA SIN DIMENSIONES

SEMEJANZA DINÁMICA, LA CIENCIA SIN DIMENSIONES

El análisis dimensional, un marco para dibujar paralelos físicos entre los sistemas de escala dispar, se permite perspicacias claves en fenómenos naturales demasiado expansivos y demasiado enérgicos para reproducir en el laboratorio.

Diogo el Cabezal es un profesor adjunto de ingeniería civil y ciencias geológicas en la Universidad de Notre Dame en el Notre Dame, Indiana. Robert Hershberger es una investigación el ayudante en el departamento de física en la Universidad de Oregon en Eugene. Russell Donnelly es un profesor de física en la Universidad de Oregon.

Muchos experimentos parecen el desalentar a primera vista, debido al número escarpado de variables físicas que ellos implican. Para diseñar un aparato que difunde el fluido, por ejemplo, hay que saber como el flujo es afectado por la presión, por las dimensiones del aparato, y por la densidad del fluido y la viscosidad. Complicando asuntos, aquellos parámetros pueden ser la temperatura y presionar al dependiente. La comprensión el papel de cada parámetro en un espacio tan alto dimensional puede ser evasiva o prohibitivamente el tiempo consumiendo.

El análisis dimensional, un concepto históricamente arraigado en el campo de mecánica fluida, puede ayudar a simplificar tales problemas por reduciendo el número de parámetros de sistema. Por ejemplo, en un aparato fluido en el cual el flujo es isotérmico e incompressible, a menudo pueden reducir el número de parámetros relevantes a un. Las recompensas de tal reducción pueden ser espectaculares: Esto puede permitir a un modelo el tamaño de un juguete de niños para ceder la perspicacia en la dinámica de un aeroplano de motor, o un cilindro llenado por fluido el tamaño de una basura puede para aclarar el comportamiento de un interior estelar. (Mirar la caja 1 para una breve historia de análisis dimensional.)

donde la g es su aceleración debido a la gravedad. Según el principio de homogeneidad dimensional, si el izquierdo - y los lados righthand de la ecuación son realmente igual, ellos deben compartir las mismas dimensiones. De verdad, cada término en la ecuación tiene las dimensiones de longitud. A pesar de la modestia de la exigencia de homogeneidad dimensional, es violado por un número de ecuaciones a menudo usadas en la literatura hydraulics, como el Complemento de la fórmula para el flujo en un canal abierto y el Hazen-Williams la fórmula, que describe los flujos del agua por tubos.

El análisis dimensional también puede ayudar a suministrar un resultado teórico. Considere el rayo de luz ilustrada en la figura 1, que, conforme a la relatividad general, es desviado como esto pasa por la gravedad del Sol. ¿La asumisión del Sol puede ser tratada como un punto de m de masas y que el rayo de luz pasa la masa con una distancia de la r de acercamiento más cercana, el razonamiento dimensional puede ayudar a predecir el ángulo de desviación?. 1 Expresado en términos de M de masas, longitud la L, y el tiempo la T, las variables denotadas por dimensiones con corchetes – es

Caja 1. Una breve historia de analy dimensional

Volviendo más de 300 años, discusiones de análisis dimensional han aparecido en montones de textos, a menudo con inclinaciones diferentes:

1687. Isaac Newton publica el Principia, que, en el libro II, la sección 7, contiene quizás la discusión documentada más temprana de análisis dimensional.

 1765. Leonhard Euler escribe extensivamente sobre unidades y dimen-sional el razonamiento en Theoria motus corporum solidorum seu rigido-el ron, un tratamiento comprensivo de la mecánica de cuerpos rígidos.

1822. Joseph Fourier emplea los conceptos de análisis dimensional en su Teoría Analítica de Calor. 1877. Lord Rayleigh perfila " un método de dimensiones " en su Teoría de Sonido.

1908. En el 4o Congreso Internacional de Matemáticos en Roma, Arnold Sommerfeld introduce un número sin dimensiones que él llama el número de Reynolds, en el tributo a Osborne Reynolds. El número de Reynolds, que apareció en lo que ahora saben como el Orr-Sommerfeld la ecuación, está entre el más famoso de todos los números sin dimensiones.

1914. En lo que generalmente es considerado como la brecha grande en el análisis dimensional, el físico Edgar Buckingham introduce el teorema ahora sabido como el teorema de Pi de Buckingham. Esto es uno de varios métodos de reducir un número de variables dimensionales a un más pequeño número de grupos sin dimensiones.
1922. En su libro influyente el Análisis Dimensional, Percy Bridg-el hombre perfila una teoría general del sujeto.

1953. En su conferencia de Jorge Darwin antes de cal Society Real Astronomi-, Subrahmanyan Chandrasekhar llama el número de Rayleigh, una diferencia sin dimensiones de temperaturas central a la convección termal.[pic 1]

La figura 1. Un rayo ligero es desviado como esto pasa por la gravedad de una estrella. Aquí, m es la masa de la estrella y la r es la distancia del acercamiento más cercano. ¿Incluso sin saber la física subyacente, uno puede usar dimen-sional el razonamiento para predecir que el ángulo de desviación? la balanza como Gmr-1c-2, donde la G es el grav-itational constante y c es la velocidad de luz.

[?] = L0 T0 M0, [r] = L1 T0 M0, [y m] = L0 T0 M1. ¿Se sigue que ninguna combinación de los poderes de r y m puede ser dimensionalmente homogénea con?.

La adición de la G gravitacional constante, que tiene dimen-sions L3 T-2M-1, y la velocidad de luz c, que tiene dimensiones L1 la T-1M0, parece sensible para un problema que concierne la gravedad y la luz. ¿De las expresiones potenciales que contienen m, r, c, y la G, cálculos Al-gebraic revelan que la homogeneidad dimensional es alcanzada sólo con las soluciones de m de forma? ¿" r "? ¿C-2? ¿G? ¿, dónde? es cualquier verdadero número entero. (Mirar la referencia 1 para un tratamiento paso a paso. ¿) Si el rayo ligero desnata solamente a través de la superficie del Sol, entonces la r = 6.96 × 108 m, m = 1.99 × 1030 kilogramos, y m de cantidad? ¿" r "? ¿C-2? ¿G? ¿será pequeño - sobre la orden de 10-6 cuándo? = 1. ¿El ? = 1 término dará el efecto más grande, y los términos de orden más alta pueden ser descuidados. Los argumentos basados puramente sobre el razonamiento dimensional sugieren, entonces, esto

θ α = , Gm

c r ( 2 (

donde un es un desconocido constante. Cuando Isaac Newton estafa - sidered el problema hace más de 300 años, él llegó a una expresión idéntica, con un = 2. La relatividad general predice un = 4, y los últimos experimentos están de acuerdo con aquel resultado a dentro del 0.02 %.

Prototipos, modelos, y la similitud

En la dinámica de los fluidos, el análisis dimensional es usado reducir número grande de parámetros a un pequeño número de dimensión - menos grupos, a menudo en manera espectacular. Además de alivio el análisis, aquella reducción de variables da lugar a las nuevas clases de semejanza.

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