Analisis Dimensional Y Semejanza Dinamica

El análisis dimensional es una poderosa herramienta que permite simplificar el estudio de cualquier fenómeno en el que estén involucradas magnitudes físicas. Su resultado fundamental, el teorema de Vaschy-Buckingham (más conocido por teorema Π), permite cambiar el conjunto original de parámetros de entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de entrada adimensionales más reducido. Estos parámetros adimensionales se obtienen mediante combinaciones adecuadas de los parámetros dimensionales y no son únicos, aunque sí lo es el número mínimo necesario para estudiar cada sistema. De este modo, al obtener uno de estos conjuntos de tamaño mínimo se consigue:

• Analizar con mayor facilidad el sistema objeto de estudio

• Reducir drásticamente el número de ensayos que debe realizarse para averiguar el comportamiento o respuesta del sistema.

El análisis dimensional también es la base de los ensayos con maquetas a escala reducida utilizados en muchas ramas de la ingeniería, tales como la aeronáutica, la automoción o la ingeniería civil. A partir de dichos ensayos se obtiene información sobre lo que ocurre en el fenómeno a escala real cuando existe semejanza física entre el fenómeno real y el ensayo.

Finalmente, el análisis dimensional también es una herramienta útil para detectar errores en los cálculos científicos e ingenieriles. Con este fin se comprueba la congruencia de las unidades empleadas en los cálculos, prestando especial atención a las unidades de los resultados.

Es el principal objetivo de esta investigación, analizar de manera clara y sencilla algunos de los fundamentos del análisis dimensional y la similitud dinámica para el estudio de los fluidos en condiciones específicas, bien sea que se encuentre confinado en tuberías o al aire libre, y también sus propiedades físicas, con relación a su compresibilidad.

INDICE:

1. Introducción.

2. El análisis dimensional. Procedimiento para su realización.

3. Teorema de Pi Vash y Buckigham. Aplicaciones.

4. Teoría de modelos y extrapolación de resultados.

5. Principio de similitud.

Flujos confinados.

Flujos con superficie libre.

Flujos con número de Reynolds alto.

Flujos compresibles.

6. Problemas resueltos.

7. Conclusión.

8. Bibliografía.

Procedimiento para el análisis dimensional:

Para reducir un problema dimensional a otro adimensional con menos parámetros, se siguen los siguientes pasos generales:

1. Contar el número de variables dimensionales n.

2. Contar el número de unidades básicas (longitud, tiempo, masa, temperatura, etc.…) m

3. Determinar el número de grupos adimensionales. Número de Π = n − m.

4. Hacer que cada número Π dependa de n - m variables fijas y que cada uno dependa además de una de las m variables restantes (se recomienda que las variables fijas sean una del fluido, una geométrica y otra cinemática).

5. El número Π que contenga la variable que se desea determinar se pone como función de los demás números adimensionales.

6. El modelo debe tener sus números adimensionales iguales a las del prototipo para asegurar similitud.

7. Se determina la dependencia del número adimensional requerido experimentalmente.

Teorema de Pi Vash y Buckingham:

Existe un número de grupos adimensionales independientes fijo para un problema dado, y es, generalmente aunque no siempre, igual a la diferencia entre el número total de variables menos el número de dimensiones fundamentales. Esta forma de determinar el número de grupos adimensionales se conoce con el nombre de teorema de pi, y establece que: El número de grupos adimensionales que se utilizan para describir una situación física real que involucre a n variable es igual a n – j, donde j es el número de dimensiones fundamentales.

Es decir:

Las variables.

i = n – j

i = número de parámetros adimensionales independientes

n = número de variables implicadas en el problema 1

j = número de dimensiones fundamentales (rango de la matriz dimensional)

Un aspecto previo para plantear el problema de la semejanza dinámica es el conocimiento del número de productos adimensionales que son necesarios para describir un determinado proceso, o lo que es lo mismo, el número de variables diferentes independientes que participan en él.

El teorema Pi de Buckingham permite conocer dicho número de productos adimensionales independientes. Sean q1, q2, .....,qn n variables involucradas en un problema particular, de tal forma que debe existir una relación funcional entre ellas de la forma f(q1,q2,K,qn)

El teorema Pi-Buckingham establece que las n variables pueden combinarse para formar exactamente (n-r) variables adimensionales independientes, donde r es el rango de la matriz de dimensiones, es decir, el número de dimensiones básicas (por tanto, independientes) incluidas en las variables qi. Lo que permite sustituir la expresión funcional anterior por 1 2 ( , , , ) 0 n r f p p p KP que simplifica el problema.

Ejemplo.

Supongamos que la deflexión δ de Ia punta de una viga en voladizo es función de la carga aplicada en la punta P, la longitud de la viga L, el momento de inercia de la sección I, y el modulo de elasticidad del material E; esto es, δ = f (P, L, I, E) Reescriba esta función en forma adimensional y discuta su complejidad y el valor peculiar de j.

Enumeremos las variables y sus dimensiones:

δ P L I E

L MLT-2 L L4 ML-1T-2

Hay cinco variables. (n = 5) y tres dimensiones primarias (M, L, T), luego j ≤ 3. Pero hagamos lo que hagamos, no podemos ninguna combinación de tres variables que no pueda formar un grupo adimensional. Esto se debe a q {M} y {T} solo aparecen en P y E. y en ambos casos lo hacen de la misma forma, MT-2.

Así nos hallamos ante un caso especial donde j = 2, que es menor que el numero de dimensiones (MLT). Para comprender mejor lo que ocurre en este caso particular, debemos rehacer el problema usando el sistema de dimensiones (F, L, T). En este caso se observa que las variables solo contienen las dimensiones {F} y {L}, luego j = 2.

Con j = 2, elegimos L y F como dos variables que no pueden formar un grupo adimensional y vamos añadiendo el resto de las variables para formar los tres grupos adimensionales buscados:

...