Serie de Taylor

[pic 1]

Serie de Taylor

Tarea #1

Armas Herrera Jesús Eduardo | Análisis Numérico I | 25/01/19

¿Qué es la serie de Taylor?

En matemáticas, una serie de Taylor es una aproximación de funciones mediante una serie de potencias o suma de potencias enteras de polinomios como  (llamados términos de la serie), dicha suma se calcula a partir de las derivadas de la función para un determinado valor o punto  suficientemente derivable sobre la función y un entorno sobre el cual converja la serie.[pic 2][pic 3]

Esta aproximación tiene tres ventajas importantes:

• la derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales;
• se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones;
• es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Cabe destacar que entre mayor sea el número de términos de la serie mejor será la aproximación a los valores de la función original.

Definición.

La serie de Taylor de una función  real o compleja  infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:[pic 4][pic 5]

[pic 6]

que puede ser escrito de una manera más compacta como la siguiente suma:

[pic 7]

donde:

•  es el factorial de n[pic 8]
• denota la n-ésima derivada de f para el valor a de la variable respecto de la cual se deriva.[pic 9]

Ejercicios:

Encontrar la serie de Taylor alrededor de  para:[pic 10]

[pic 11]

Primeramente, obtendremos las derivadas de la función y sus valores evaluadas en el punto :[pic 12]

Ahora sustituyendo en la fórmula:

[pic 26]

En la función nos podemos percatar que en los términos con potencia par el signo es negativo, mientras que en los términos con potencia impar el signo es positivo.

Por lo tanto, podemos escribir la función en forma de suma, de la manera:

[pic 27]

[pic 28]

Primeramente, obtendremos las derivadas de la función y sus valores evaluadas en el punto :[pic 29]

Ahora sustituyendo en la fórmula:

[pic 43]

Aquí el patrón es muy sencillo, simplemente notamos que el exponente es el mismo que el denominador antes de aplicar el factorial.

Por lo tanto, podemos escribir la función en forma de suma, de la manera:

[pic 44]

[pic 45]

Primeramente, obtendremos las derivadas de la función y sus valores evaluadas en el punto :[pic 46]

...