Representación de funciones mediante la serie de Taylor

INSTITUTO TECNOLOGICO DE REYNOSA

INVESTIGACIÓN DE LA UNIDAD 4: SERIES

Materia: CÁLCULO INTEGRAL

Profesor: RAMIREZ FLORES TOMAS

Alumna:

Carrera: INGENIERIA INDUSTRIAL

Grado y grupo: 2*B

INDICE

4.1 Definición de serie…………………………………………………..………………..3

4.1.1 Finito…………………………………………………………………………...5

4.1.2 Infinito…………………………………………………………………………..6

4.2 Serie numérica y convergencia..........................................................................8 Prueba de la razón (criterio de D´ Alembert) y Prueba de la raíz (criterio de Cauchy).

4.3 Series de potencias………………………………………………………………....11

4.4 Radio de convergencia……………………………………………………………..13

4.5 Serie de Taylor……………………………………………………………………....16

4.6 Representación de funciones mediante la serie de Taylor……………….........21

4.7 Calculo de integrales de funciones expresadas como serie de Taylor…….....................................................................................24

4.1 DEFINICIÓN DE SERIE

En matemáticas, una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se representa una serie con términos an

como la imagen que se muestra en el costado izquierdo donde n es el índice final de la serie. En terminología matemática se incluye sucesión para designar la existencia de elementos encadenados o sucesivos. Se excluye totalmente la sinonimia con el término serie.

Una serie es la suma de una sucesión.

Sucesión:{1,2,3,4} Serie: 1+2+3+4 = 10

Las series convergen o divergen.

Clasificar una serie es determinar si converge a un número real o si diverge. Para esto existen distintos criterios que, aplicados a la serie en cuestión, mostrarán de qué tipo es (convergente o divergente).

- si L < 1, la serie converge.

- si L > 1, entonces la serie diverge.

- si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.

En este caso, es necesario probar otro criterio, como el criterio de Raabe.

Algunos Tipos De Series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón. Ejemplo (con constante 1/2):

En general, una serie geométrica, de razón z, es convergente, sólo si |z| < 1, a:

La serie armónica es la serie

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos alternan el signo. Ejemplo:

Una serie telescópica es la suma , donde an = bn − bn+1. Se representa de la siguiente manera:

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma , que cumple que = .

4.1.1 FINITO

Las series finitas son las que constan de un determinado, o finito número de términos, cuya suma extrae exactamente el valor de una cantidad.

Las series tienen unas características fundamentales con respecto a su límite y en esta parte en cuestión las series finitas son objeto de análisis.

Observando la serie que se encuentra al costado izquierdo y mediante un análisis de sus componentes encontramos el límite superior determinado por “N”, esto significa que la serie esta superiormente acotada a cualquier numero natural, y por consecuente se puede deducir que es una serie finita puesto a que tiene un numero finito de elementos acotados por "N"

Una serie numérica es un conjunto especial de números que se forma

Ordenadamente siguiendo determinada ley o condición, así por ejemplo.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 2, 4, 8, 16, 32, 64 1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 3, 6, 10, 12, 14, 20

Cuando la sucesión tiene un último término se dice que la sucesión es finita.

- Ejemplo Sea f la función definida por f(x)= 2m; m" {1, 2,3,4}

f(1)= 2x1=2 f(2)= 2x2=4 f(3)= 2x3=6 f(4)= 2x4=8 (2,4, 6,8)

f(x)= 2m; m" { 1,2,3,4} es una serie finita donde m pertenece a cualquier número del intervalo [1, 4]

4.1.2 INFINITO

Una parte importante del estudio del Cálculo trata sobre la representación de funciones como “sumas finitas”. Realizar esto requiere extender la operación familiar de adición de

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