Funcion De Taylor

E LA SERIE DE TAYLOR

Se ha visto que una serie de potencias representa una función (su suma) analítica en |z|< R. A continuación se va a establecer un reciproco, fundamental en la teoría de funciones de variable compleja.

Si f(z) es analítica en un circulo abierto |〖Z-Z〗_0 |< r_0 , admite un dicho dominio en una representación de una serie:

Que podemos rescribir:

En esta serie de potencias es el llamado desarrollo de f(z) en una serie de Taylor en el entorno de Z0.

Si Z0=0 la serie de Taylor se reconoce como serie de MacLaurin de f(z).

Ejemplos de serie de Taylor

1.- calcule la serie maclaurin de e^x.

Solución:

Si f(x)= e^x,f^x(x)= e^x para toda x, por lo tanto, f^x(0)=1 para toda n, asi la ecuación de maclaurinse tiene las serie de maclaudin.

2.- utilizando la definicion de desarrollo de taylor (o de macLaurin) se obtiene:

3.- como consecuencia de los anteriores es inmediato por ejemplo:

4.- a partir de la serie geométrica

Pueden obtenerse de forma inmediata:

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones importantes. Todos los desarrollos son también validos para valores complejos de x.

FUNCION EXPONENCIAL Y LOGARITMICA NATURAL:

SERIE GEOMETRICA:

SERIE DEL BINOMIO:

FUNCION TRIGONOMETRICA:

FUNCION HIPERBOLICA:

E LA SERIE DE TAYLOR

Se ha visto que una serie de potencias representa una función (su suma) analítica en |z|< R. A continuación se va a establecer un reciproco, fundamental en la teoría de funciones de variable compleja.

Si f(z) es analítica en un circulo abierto |〖Z-Z〗_0 |< r_0 , admite un dicho dominio en una representación de una serie:

Que podemos rescribir:

En esta serie de potencias es el llamado desarrollo de f(z) en una serie de Taylor en el entorno de Z0.

Si Z0=0 la serie de Taylor se reconoce como serie de MacLaurin de f(z).

Ejemplos de serie de Taylor

1.- calcule la serie maclaurin de e^x.

Solución:

Si f(x)= e^x,f^x(x)= e^x para toda x, por lo tanto, f^x(0)=1 para toda n, asi la ecuación de maclaurinse tiene las serie de maclaudin.

2.- utilizando la definicion de desarrollo de taylor (o de macLaurin) se obtiene:

3.- como consecuencia de los anteriores es inmediato por ejemplo:

4.- a partir de la serie geométrica

Pueden obtenerse de forma inmediata:

A continuación se enumeran algunas series de Taylor de funciones

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