Serie De Taylor

TEOREMA DE TAYLOR

La familia de funciones más simples son los polinomios ya que son muy fáciles de derivar y de integrar. El teorema de Taylor permite, bajo ciertas hipótesis, aproximar funciones mediante polinomios lo que facilita cálculos numéricos directos que pueden ser muy difíciles y a veces hasta imposibles.

Consideremos una funciónf definida en algún intervalo de R, tal que la n-esimaderivada, f(n)(x) , existe en un intervalo que contiene a un punto a fijo y si x es un punto cualquiera de dicho intervalo, entonces nuestro objetivo es buscar una serie de potencias que converjan hacia f en algún intervalo.

Primero buscaremos polinomios usando de forma recursiva integración por partes.

Supongamos que f y f ’son continuas en [a, b]. Entonces, para cualquier xЄ[a, b] setiene, usando el Teorema Fundamental del Cálculo:

Suponiendo que f ´´existe, podemos volver a integrar por partes la integral de la ecuación:

Integrando por partes la integral de la ecuación:

Entonces la ecuación se transforma en:

El proceso puede continuar indefinidamente siempre que las derivadas de orden n de f existan y sean continuas, así todas las integrales existen. Aplicando n veces esteprocedimiento obtenemos el siguiente teorema:

Teorema de Taylor- Forma 1Si f(x) y sus primeras (n+1) derivadas son continuas en

[b1, b2] y si b1 < a < b2, entonces para x en el intervalo dado se tiene:

• El término Rn(x, a) se llama resto

• se llama polinomio de Taylor de grado n y centrado en a def.

• Si f tiene las derivadas continuas de todos los órdenes entonces los polinomios deTaylor se pueden transformar en una serie llamada serie formal de Taylor :

Le decimos formal porque no se sabe a priori si realmente esta serie converge a f(x).

Del enunciado del teorema podemos deducir que

Converge a f(x), en algún intervalo centrado en x = a si y solo si Rn(x, a)—0 cuando

n—+∞.

Teorema de Taylor- Forma 2: Supongamos que f(x) tiene sus primeras n derivadas continuas y la derivada f (n + 1)(x) existe en un intervalo [b1, b2]. Sea a tal que b1 < a <b2. Entonces para todo x en ]b1, b2[ se tiene:

Demostración: Sea Rn(x, a) definido por:

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