Sistemas Numericos

Índice

Propiedad de la cerradura 2

Ley asociativa 2

Ley Conmutativa 3

Ley Distributiva 3

Ley cancelativa 4

Propiedades de la igualdad 4

Propiedad Reflexiva 4

Propiedad Simétrica 4

Propiedad Transitiva 4

Orden o desigualdad 4

Ley de Monotonía de adición 5

Ley de Monotonía de la multiplicación 5

Ley transitiva 5

Ley reflexiva 6

Anti simétrica 6

Números Enteros 6

Producto vacío o producto del valor cero 7

Potenciación 8

Leyes de los exponentes 9

Valor absoluto 11

Números Racionales 12

Propiedades fundamentales de las funciones 13

Propiedades de valor absoluto 22

Números Reales 23

Intervalos 24

Propiedades de los radicales 25

Exponente Fraccionario 27

Números complejos 27

Números Naturales

Los números naturales son todos aquellos los que se usan para contar objetos, la ausencia de estos objetos puede considerarse como el 0(cero).

Este conjunto es infinito.

Además de los signos de agrupación, para realizar de manera correcta las operaciones aritméticas, es necesario conocer las propiedades que las rigen:

El uno es un número natural y por lo tanto esta en el conjunto N de los números naturales.

Todo número natural n tiene un sucesor.

El 1 no es sucesor de ningún número.

Si hay dos números naturales n y m con el mismo sucesor, entonces n y m son el mismo número.

Si el 1 pertenece al conjunto K de números naturales, y dado un elemento cualquiera k, el sucesor de k, pertenece también al conjunto K, entonces todos los números pertenecen al conjunto K.

Propiedad de la cerradura:

La adición y la multiplicación se consideran los que tienen conexión con los números naturales, ya que por experiencia sabemos que al sumar dos números naturales siempre tendremos un número natural, lo mismo pasa cuando se multiplican dos números.

El conjunto de los números naturales no es cerrado con respecto a las operaciones de sustracción y división, ya que al sumar o dividir dos número naturales no siempre obtendremos un número natural.

Ley asociativa:

Esta se cumple para la suma y la multiplicación, consiste en que pueden asociarse dos al principio o la final de una suma de o multiplicación de tres números. Por ejemplo:

(5+3)+2 = 8+2 = 10

5+ (3+2) = 5+5 = 10

(2x3)x6 = 6x6 =36

2x (3x6) = 2x18 = 36

En las operaciones de suma y resta no cumplen esta propiedad asociativa porque al hacerlo se altera su resultado ejemplo:

(15-4)-3 = 11-3 = 8 esto no es lo mismo que 15-(4-3) = 15-1 = 14 por eso se dice que la resta y la división no cumplen son esta ley.

Ley Conmutativa:

La palabra conmutar significa “cambiar de lugar”, la suma y la multiplicación cumplen con esta propiedad, la cual consiste en que los operados pueden cambiar de lugar sin que se altere el resultado de la operación.

Esta propiedad en la suma se dice que “el orden de los sumandos no altera la suma” y en la multiplicación se enuncia “el orden de los factores no altera el producto, ejemplo:

6+5= 11 y si lo conmutamos 5+6=11

(3)(5)= 15 y si se conmuta quedaría así: (5)(3)=15

Esta propiedad no es válida con la resta y la división ya que si cambiamos de lugar algún número, si estaría alterando el resultado de cualquier operación.

Ley Distributiva:

Esta ley consiste en distribuir un factor “a” en una suma “(b+c)”, o sea, se obtiene el mismo resultado si primero se calcula la suma de “(b+c)” y se multiplica esta resultado por “a”, que si primero se obtienen los productos “ab” y “ac”, y después se suman estos.

a(b+c) = ab+ac

Ejemplo:

2(4+3) = 2(7) = 14

2(4+3) = 2(4)+2(3) = 8+6 = 14

Esta propiedad no cumple para la división de un número entre la suma de otros dos, ejemplo:

12/(4+2) = 12/6 = 2

12/(4+2) = (12/4)+(12/2) = 3+6 = 9

Ley cancelativa:

La ley cancelativa es la propiedad recíproca de la ley uniforme. En la suma quiere decir que si “a+c” es igual a “b+c” entonces “a” es igual a “b”.

Esta ley en la multiplicación cumple cuando “x” no es igual a “0”, o sea “

(x)(y) = (x)(z) => y = z

Propiedades de la igualdad:

Dos objetos matemáticos son considerados iguales si tienen precisamente el mismo valor. Esto define un predicado binario, igualdad, y si sólo si “x” y “y” son iguales. Una equivalencia en sentido general viene dada por la construcción de una relación de equivalencia entre dos elementos. Un enunciado en que dos expresiones denotan cantidades iguales es una ecuación.

Propiedad Reflexiva:

Todo conjunto es igual a sí mismo. Ejemplo:

a = a

Propiedad Simétrica:

Si un conjunto es equivalente a otro, entonces el segundo es equivalente al primero, esto quiere decir que los dos son iguales.

Si a = b entonces b = c

Propiedad Transitiva:

Si un conjunto es equivalente a otro y este último es equivalente a un tercero, quiere decir que el primero es equivalente al tercero.

Si dos igualdades tienes un miembro en común, los otros miembros son iguales.

Si a = b y b = c entonces a = c

Orden o desigualdad:

Desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad.

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<), también existen otros símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente (≤ y ≥).

Ley de Monotonía de adición:

Si a los dos miembros de una desigualdad se suma una misma cantidad, el signo de la cantidad no varía.

Para tres números reales, a, b, y c:

Si a>b, entonces: “a + c > b + c”

Si a<b, entonces: “a + c < c + c”

Ley de Monotonía de la multiplicación:

Si ambos términos de una inecuación se multiplican o dividen por la misma expresión negativa, el símbolo de la desigualdad cambia. Pero siempre hay que tener

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