Solido Rigido

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CINEMÁTICA DEL SÓLIDO RÍGIDO

Un sólido rígido se considera como un conjunto de

partículas numerables: m1 , ...mi ....mn cuyas distancias

mutuas permanecen invariables, en las condiciones

habituales de trabajo del cuerpo. Así por ejemplo, la

distancia entre dos partículas cualesquiera como mi y mj ;

que designamos por dij ; se mantiene siempre constante,

fig.1.

En otras ocasiones se toma el sólido como un continuo,

pero sin interesarnos por su estructura interna. Entonces se

le considera formado por elementos de masa dm, sin

necesidad de distinción entre cada uno de ellos, fig.2.

En realidad, ningún sólido es absolutamente rígido, ya que

aplicándole fuerzas suficientemente intensas se le puede

deformar, sin embargo, para fines prácticos, en las

condiciones normales de trabajo a que los sólidos están

sometidos, las variaciones de dimensiones que pueden

sufrir, son lo suficientemente pequeñas, como para poder

pasarlas por alto y ser de aplicación el modelo de sólido

rígido que se va a estudiar a continuación.

Debe saber el lector, que otra parte de la Física se ocupa

de las deformaciones de los sólidos, se conoce como

Resistencia de Materiales, y que es de gran interés en la

Ingeniería.

El movimiento de un sólido rígido puede ser:

* De traslación.

* De rotación.

* Un movimiento combinado de rotación y traslación, lo

designaremos como movimiento general.

El análisis que se hará a continuación, se limitará

únicamente al movimiento plano, en él, todas las

partículas del sólido rígido se mueven en planos paralelos

a uno fijo. En el caso del cilindro de la fig. 3; todas sus

partículas se desplazan en planos paralelos al XY.

MOVIMIENTO DE TRASLACIÓN

Un sólido rígido efectúa una traslación, cuando el segmento que une dos cualesquiera de sus partículas, por

ejemplo las A y B de las fig.4 y fig.5, siempre permanece paralelo a la posición inicial durante el movimiento.

Fig.1

mi

dij

mj

dm

dm

Fig.2

Y

X

Z

Fig.3

rV

A

B

Fig.4

A

A

B

Posición B

inicial

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La traslación es rectilínea, si las trayectorias seguidas por las partículas del sólido rígido en su

movimiento son líneas rectas. Así sucede con las trayectorias de los puntos A y B de la fig.4, que se

representan en el dibujo mediante líneas discontinuas.

La traslación es curvilínea, cuando las trayectorias seguidas por las partículas del sólido rígido son

líneas curvas. Obsérvense en la fig.5, las trayectorias de las partículas A y B. Nótese que es una

traslación, porque el segmento AB sigue paralelo así mismo, y a como se encontraba en la posición

inicial.

A

a) Determinación de la velocidad de cada una de las

partículas del sólido rígido, cuando efectúa una

traslación.

Se toma un origen de referencia en O, fig.6, y los vectores

de posición rr

A y rr

B de los puntos A y B. En la misma se

define un vector BA

r

, y de ella se deduce fácilmente, que

r r r

rA = rB + BA . Derivando los vectores anteriores respecto

del tiempo, se obtiene el vector velocidad.

r

r r r

v dr

dt

dr

dt

d

A

= A = B + BA

dt

El vector BA

r

por pertenecer a un sólido rígido, es

constante en módulo, pero además, por tratarse de un

movimiento de traslación, es constante en dirección y

sentido, en resumen, que se trata de un vector constante y

por lo tanto su derivada es nula. Resulta en consecuencia,

que las partículas A y B tienen la misma velocidad, fig.7.

r r vA = vB (1.1)

Cuando un sólido rígido realiza una traslación, bien sea

rectilínea o curvilínea, en cada instante, la velocidad es la

misma para todas sus partículas.

b) Determinación de la aceleración de las distintas

partículas del sólido rígido. Se deriva la ecuación (1.1)

respecto del tiempo.

dv

dt

dv

dt

A B

r r

= ; en consecuencia: r r aA = aB (1.2)

En cada instante, la aceleración es la misma para todas

las partículas de un sólido rígido, que efectúa una

traslación.

En el caso de una traslación rectilínea, los vectores

velocidad y aceleración, están sobre la propia trayectoria de

A

A

A

B

B

B

Posición

inicial

Fig.5

Y

rr

A

rr

B

B

A

O X

Z Fig.6

A

B

T ar

N ar ar

ar

A

B B

A A vr

B vr

Fig.7

3

cada partícula, sin embargo, si la traslación es curvilínea, la

velocidad es tangente a la trayectoria, pero la aceleración

tiene sus dos componentes intrínsecas, la tangencial ra

t en la

dirección del vector velocidad y la normal ra

n , en dirección

perpendicular a la tangente y con sentido hacia el centro de

curvatura del elemento de trayectoria, véase la fig.7.

MOVIMIENTO DE ROTACIÓN DE UN SÓLIDO

RÍGIDO, ALREDEDOR DE UN EJE FIJO.

Cuando un sólido rígido gira con una cierta velocidad

angular rω

entorno a un eje de rotación, cada una de sus

partículas tiene que describir una circunferencia con centro

en el eje, ya que por definición de sólido rígido, la distancia

de la partícula al eje debe permanecer constante. Si

centramos la atención en una partícula como la mi se

observa en la fig.8, como describe una circunferencia de

radio Ri con centro en el punto O. Los puntos del sólido que

forman el eje de rotación, se considera que no giran.

Debe comprenderse, que la velocidad angular rω

es en cada

instante, la misma para todas las partículas del sólido rígido

con un movimiento de rotación. Si se consideran tres

partículas A, B y C, que en un cierto instante están situadas

en línea recta y suponemos que después de haber girado el

sólido un cierto tiempo, se podrían

...