Solidos De Revolucion Mate 2

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.

Calculo de volúmenes

Método del disco.

Si giramos una región del plano alrededor de un eje obtenemos un sólido de revolución. El volumen de este disco de radio R y de anchura ω es:

Volumen del disco = wR2π

Para ver cómo usar el volumen del disco y para calcular el volumen de un sólido de revolución general, se hacen n particiones en la grafica.

Estas divisiones determinan en el sólido n discos cuya suma se aproxima al volumen del mismo. Teniendo en cuenta que el volumen de un disco es , la suma de Riemann asociada a la partición, y que da un volumen aproximado del sólido es: wR2π

))((121−=∞→−=ΣiiininxxcfVLimπ

Fórmula del volumen por discos

Por tanto, recordando la definición de integral definida de Riemann se obtiene que:

()∫=badxxfV2)(π

si se toma el eje de revolución verticalmente, se obtiene una fórmula similar:

()∫=dcdyyfV2)(π

Antes de comenzar a esbozar diversos ejemplos de estos métodos, estableceremos algunas pautas que les ayudarán a resolver problemas sobre sólidos de revolución.

COMO HALLAR VÓLUMENES POR EL MÉTODO DEL DISCO (O ARANDELA)

1. Dibujar la región y trazar sobre esta un segmento que sea PERPENDICULARal eje de rotación. La región al hacerla girar alrededor del eje de rotación generará una sección transversal típica en forma de disco o arandela dependiendo el caso.

2. Hallar: para el caso del disco el radio principal y para el caso de la arandela los radios interno y externo.

3. Establecer los límites de integración.

4. Por último integrar para hallar el volumen deseado.

EJEMPLO 1: La región entre la curva xy=, y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen. 250≤≤x

SOLUCION: Ayudados por la sugerencia anterior

1. TRAZO DE LA REGIÓN Y DE LA SECCIÓN TÍPICA. Abajo se muestra la región R pedida:

2. EXTRACCIÓN DEL RADIO PRINCIPAL:Es claro que el método a utilizar es el método de los discos. Luego, la distancia del segmento r (radio principal) es f, es decir: xr=.

3. LIMITES DE INTEGRACIÓN:Estos límites nos lo fueron

Región que rota alrededor del eje x

dados en el enunciado del ejemplo: 250≤≤x.

4. FORMULACION DE LA INTEGRAL:Aplicando la expresión correspondiente para volúmenes usando el método del disco tenemos:

∫=badxrV2π ∫=2502dx)x(π

∫=250dxxπ 02522⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=xπ 2625π=.

Por tanto el volumen del sólido es 2625π u3.

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