Volumenes De Solidos En Revolucion

VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION

Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una región plana

alrededor de un eje. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta al girar un

triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge al girar un

rectángulo alrededor de uno de sus lados.

.

Método del disco.

Si giramos una región del plano alrededor de un

eje obtenemos un sólido de revolución. El

volumen de este disco de radio R y de anchura

ω es:

Volumen del disco = R w2π

Para ver cómo usar el volumen del disco y para

calcular el volumen de un sólido de revolución

general, se hacen n particiones en la grafica.

4.5 Volumen de un sólido de revolución.

Se llama sólido de revolución al espacio obtenido al hacer girar una superficie plana alrededor de una recta fija llamada eje de revolución.

Método de los cilindros.

Primer caso: Cuando el eje de giro está adyacente al area que se va a hacer girar.

Consideremos un rectángulo de altura r , anchura y hagámosla girar alrededor de un eje de revolución, tal como lo indica la figura:

Puede observarse que al hacer girar repetidas veces el rectángulo alrededor del eje de revolución se genera un cilindro cuyo volumen es:

Tomemos ahora una superficie plana y un eje de giro adyacente a ella, tal como lo muestra la figura anterior, dicha superficie plana está formada por n rectángulos cuya base es y altura , entonces al hacer girar la superficie alrededor del eje de revolución, se verá que cada uno de ellos forma un cilindro cuyo volumen será:

y el volumen del sólido cuando será:

cuando el eje de giro es horizontal.

De manera análoga, si el eje de revolución es vertical, entonces :

Ejemplo 1:

Hallar el volumen generado al hacer girar alrededor del eje la superficie plana formada por ; ; .

Solución:

El rectángulo representativo de la superficie plana que servirá de muestra para encontrar el volumen buscado siempre es perpendicular al eje de giro, así que el volumen de este rectángulo representativo, que denotaremos por estará dado por:

y la suma de los volúmenes de todos los cilindros que se obtienen al hacer girar todos los rectángulos representativos desde hasta :

Ejemplo 2:

Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor del eje la superficie limitada por ; .

Solución:

Empezaremos por hacer la gráfica del problema y trazar un rectángulo representativo perpendicular al eje de giro.

En este caso, y , por lo tanto el volumen representativo está dado por

Y la suma

...