Volúmenes de solidos en revolución: método de capas

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DESARROLLO CONSULTA

“volúmenes de solidos en revolución: método de capas”

ELABORADO POR:

Juan Camilo Montoya López T.I 1094883890

PRESENTADO A:

Sol de Amor Vásquez Q.

Docente de la asignatura-calculo integral

PROGRAMA DE INGENIERÍA CIVIL

FACULTAD DE INGENIERIAS UNIVERSIDAD LA GRAN COLOMBIA

ARMENIA-QUINDIO

17/09/2022

1. Deduzca la formula del método de las capas o cascarones cilíndricos. Realice su respectiva grafica.

RESPUESTA:

Sea f (x) una función continua y no negativa. Y sea R la región delimitada arriba por la gráfica de f (x), abajo por el eje x, a la izquierda por la recta x = a, y a la derecha por la recta x = b. Entonces el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor del eje y está dado por

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1. Explique con sus palabras en qué situación se usa este método y cuál es la diferencia con los métodos vistos.

RESPUESTA:

Este método de capas cilíndricas tiene la ventaje de que se puede aplicar casi que en cualquier solido en revolución, tiene una particularidad y es que, así nos den un eje de revolución de manera vertical podremos seguir integrando a partir de un DX, mas no a partir de un DY como lo hemos analizado por ejemplo en el método de arandelas, que si nos ponemos a observar este método si nos llegasen a dar un eje de revolución vertical por obligación tendríamos que convertir las funciones en términos de Y, con este método de capas cilíndricas no tendríamos que colocar la función inicial en términos de Y; es por esta razón que este método nos ayudaría a encontrar el volumen de un solido generado a partir de una función en la cual se nos haga imposible despejar la variable X para poner la misma en términos de Y.

En cuanto a la diferencia que noto de este método a los otros es que este volumen se analiza y se integra de manera vertical al eje de revolución para que de esta manera se llegase a generar las capas cilíndricas o cascarones de una manera más uniforme.

1. De dos ejemplos del uso de las capas o cascarones cilíndricos.

RESPUESTA:

• Defina R como la región acotada arriba por la gráfica de f (x) = 2x − x2 y abajo por el eje x sobre el intervalo [0, 2]. Encuentre el volumen del sólido de revolución formado al girar R alrededor del eje y.

Solución:

Primero grafique la región R y el sólido de revolución asociado, como se muestra en la siguiente figura.

[pic 5]

Entonces el volumen del sólido viene dado por:

[pic 6]

• EJEMPLO 2:

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1. Resuelva: Halle el volumen que se obtiene girando la región limitada por

  ,   alrededor del eje Y. [pic 8][pic 9]

RESPUESTA: [pic 10]

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