Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución

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Tecnológico Nacional de México

Instituto Tecnológico de La Paz

Departamento de Ingenierías

Ingeniería Bioquímica

Cálculo Integral

3.3 Cálculo de volúmenes de sólidos de revolución
3.3.2. Método de arandela

2°B

Lisa J. Alvarez Hernández
Ma. Alejandra Cisneros Geraldo
Jimena Cruz Meza
Jessenia Hernández Hernández
Alexa Rodríguez Cano
Leonardo Sánchez Angulo

Docente: Jovita Rodríguez Flores

La Paz, B.C.S., a 8 de Mayo del 2018

Introducción

Durante el siglo XX se desarrollaron técnicas para calcular áreas y volú-menes. Kepler fue uno de los matemáticos que contribuyeron a estos desarrollos. Su interés por el cálculo de áreas y volúmenes surge porque había comprado un barril de vino para su segunda boda, y el procedimiento que empleó el mer-cader de vino para medir el volumen del barril lo enfadó. A partir de este incidente, estudió cómo calcular áreas y volúmenes de diferentes cuerpos, especialmente cuerpos de revolución; siendo su principal contribución al origen del cálculo integral.

Hoy en día, para obtener el volumen generado al rotar la gráfica de unas funciones definidas en un intervalo cerrado alrededor de uno de los ejes, se utilizan métodos establecidos por diferentes matemáticos. Un sólido de revolución es una figura sólida ob-tenida como consecuencia de hacer rotar una región plana alrededor de una recta cualquiera que esté contenida en el mismo plano (figura 1).

El método de arandela es uno de los métodos para obtener el volumen de un sólido de revolución. Este método se basa en el "Método de Discos" pero en este caso se utilizan dos discos. El más pequeño es vació, por lo tanto, se le da el nombre de arandela ya que forma una especie de solido hueco; por esto el nombre. En términos generales, este método se utiliza cuando el eje de rotación se encuentra a una distancia de la función que formará el sólido. Este espacio entre el eje y la función crea un hueco en el sólido, por esto mismo se necesita restar el área del hueco al solido en revolución.

El método de Arandela consiste en hallar el volumen de un sólido generado al girar una región R que se encuentra entre dos curvas como se muestra en la figura 1. [pic 4]

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La integral que contiene el radio interno representa el volumen del hueco y se resta de la integral que contiene el radio externo (figura 2).[pic 7]

Obteniendo después de los cálculos, el volumen del sólido.[pic 8]

El objetivo de la actividad es mostrar el método de arandela a los compa-ñeros del salón de 2°B de la carrera de Ingeniería Bioquímica del Instituto Tecnológico de La Paz teniendo dominio del tema y habilidad para dar la explicación y procedimiento del método.

Método de Arandela

Fórmula para volumen:

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Teorema fundamental del cálculo:

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Rotación en el eje Y

Explicación por medio de un ejemplo:

“La región entre las curvas f(x)= x2 y g(x)=1 se gira alrededor del eje y=2 generando un sólido. Halla su volumen.”

Paso 1: Igualar las funciones para obtener el intervalo.

Este paso nos ayudará a descubrir el inicio y fin del intervalo, para tomarlos como referencia al momento de graficar las funciones.

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Intervalo: [-1,1]

Paso 2: Graficar las funciones e identificarlas. [pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17]

Paso 3: Invertir la figura que se formó.

Para imaginarnos como es la arandela de las funciones, se tiene que invertir la figura que se formó al graficar las funciones, en este caso hacia arriba de y=2, pues el giro es en este eje. Tomando en cuenta que deben estar a la misma distancia respecto al eje de giro (y=2).

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La figura está hueca por dentro, teniendo un radio interno (r), un radio externo (R) y una altura (dx).

Por medio de la gráfica se pueden asociar los valores de los radios, la altura en estos casos será siempre dx.

Paso 4: Asociar los valores.

Radio exterior R=  siempre a la distancia que hay entre el eje de giro y el eje de las x, se le resta la función que está debajo de la figura formada.[pic 20]

Radio interno r= 1 siempre coincide con la distancia que hay desde el punto más cercano al eje de giro, con el mismo eje de giro.

Paso 5: Presentar integral del volumen.

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Paso 6: Preparar para integrar.

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Paso 7: Integrar.

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Paso 8: Evaluar integral utilizando el teorema fundamental del cálculo.

Al ser evaluado de un número negativo a uno positivo se recomienda hacerlo por partes, evaluando desde el 0 al 1 y del -1 al 0.

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Para dar la respuesta del volumen se toman todos los valores como positivos. El volumen final sería:

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Rotación en el eje X:

De la misma manera en la que se planteó la problemática anterior, Puede que nuestro sólido no solo sea revolucionado en el eje de las “Y” si no también en el eje de las “X”.

Esta parte será ejemplificada con “La región entre las curvas y= √x y y= se gira alrededor del eje x=2 generando un sólido. Halla su volumen.”[pic 28]

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