Actividad: Sólidos de Revolución

Matemáticas II

Actividad: Sólidos de Revolución

Competencia

Comprender y aplicar el concepto de integral definida de funciones reales, para modelar y dar solución a problemas en diferentes contextos.

Objetivo

Encontrar el volumen de un sólido de revolución empleando los métodos de discos, y anillos

Ejercicio inicial

Encuentre el volumen del sólido generado cuando la zona delimitada por la curva , el eje x y la recta x = 2 se hace girar sobre el eje "x". Usando el método de los cilindros y el de los discos

En WolframAlpha puedes calcular la aproximación del volumen; es importante distinguir los objetos de la sumatoria; por otra parte puedes calcular el valor exacto;

Lección:

¿Cómo encontrar el volumen de un sólido de revolución generado al hacer girar la región limitada por la gráfica de una función en torno a uno de los ejes mediante integrales definidas ?

En matemáticas e ingeniería , un sólido de revolución es una figura sólida que se obtiene al hacer girar una curva plana en torno a una línea recta, llamada eje de revolución, que se encuentra en el mismo plano.

Algunos ejemplos son ejes, embudos, píldoras, botellas y pistones.

El volumen de un sólido de revolución puede ser encontrado por los siguientes procedimientos:

Método de los discos

Si una región en el plano gira alrededor de una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución y la recta se llama eje de revolución.

Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, usar una de las formulas siguientes.

El método de los anillos

El método de los discos puede extenderse para cubrir sólidos de revolución huecos reemplazando el disco con una arandela o anillo

Ejemplos

1. Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por las gráficas

a) alrededor del eje x

b) alrededor del eje y

c) alrededor de

d) alrededor de

Alrededor del eje x Alrededor del eje y

alrededor de x=4

Alrededor de x=6

2. Determinar el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región acotada por las gráficas alrededor del eje x. Usa WolframAlpha

Actividad para el estudiante

Para los siguientes ejercicios utiliza el método de los discos y usa WolframAlpha para revisar tus respuestas

1. Encuentre el volumen del sólido que se genera al rotar alrededor del eje indicado la región plana limitada por las curvas dadas.

a. alrededor de la línea x=3

b. alrededor de la línea y=-1

2. La región R que se muestra en la figura está limitada por las parábolas y . Encuentre el volumen del sólido generado al rotar al rotar R alrededor del eje x.

3. Encuentre el volumen del elipsoide generado al rotar al rotar alrededor del eje x la región limitada por la elipse con ecuación

Aplicación

Cierre

Un barril de

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